Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 11. 05. 2008 16:32
afinní prostory
Jsou dány čtyři body v 4- dimenzionálním afinním prostoru A4, které mají vzhledem k afinnímu repotu souřadnice K = [1,2,1,-2], L = [0,2,1,0], M = [2,1,-1,1], N = [1,-1,-1,1]. Rozhodněte jaký podprostor určují a napište jeho vyjádření (parametrické, obecnou rovnici, atp.) (Řešení. Body jsou LNZ, určují nadrovinu, obecné rovnice 2x1 – x2 + 3x3 + x4 – 1 = 0)
Předem vám moc děkuji, jde mi hlavně o postup.
Offline
#2 12. 05. 2008 18:38
- Kondr
- Veterán
- Místo: Linz, Österreich
- Příspěvky: 4247
- Škola: FI MU 2013
- Pozice: Vývojář, JKU
- Reputace: 38
Re: afinní prostory
Zaměření prostoru daného těmito body je tvořeno vektory KL=(-1,0,0,2), KM=(1,-1,-2,3), KN=(0,-3,-2,3). Parametrické vyjádření máme proto hned:
A4={K+aKL+bKM+cKN}={[1,2,1,-2]+a(-1,0,0,2)+b(1,-1,-2,3)+c(0,-3,-2,3)|a,b,c reálná}
(Samozřejmě takovýchto vyjádření je nekonečně mnoho.)
Pokud chceme podprostor popsat rovnicemi, najděme nejprve rovnice jeho zaměření. Přecházet mezi vyjádřením rovnicemi a vyjádřením generujícími vektory znamená hledat ortogonální doplněk, neboli řešit soustavu rovnic. V našem případě se na vektory zaměření podíváme jako na soustavu rovnic:
-1,0,0,2
1,-1,-2,3
0,-3,-2,3
jejímž řešením dostaneme vektor (2,-1,3,1). Zaměření jde proto popsat rovnicí
2x1 – x2 + 3x3 + x4 =0
Náš afinní prostor se od svého zaměření liší jen posunutím, proto se jejich rovnice liší jen o konstantu.
(Proč? Vektor zaměření je tvaru a(-1,0,0,2)+b(1,-1,-2,3)+c(0,-3,-2,3), po skalárním vynásobení s (2,-1,3,1) dá 0.
Vektor AP je tvaru [1,2,1,-2]+a(-1,0,0,2)+b(1,-1,-2,3)+c(0,-3,-2,3), po vynásobení (2,-1,3,1) se poslední 3 členy vynulují a vyjde konstanta, v našem případě 2-2+3-2=1.)
Proto je rovnice našeho AP tvaru 2x1 – x2 + 3x3 + x4 =1, což jsme chtěli dokázat.
BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy
Offline