Matematické Fórum

noxondra · 12. 05. 2008 17:26

Ahoj, potřeboval bych poradit s tímto příkladem zaseknu se u určování vlastního čísla viz. dole :

Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice

1 -1 1
A = -1 1 1
-1 -1 3

Jaký tvar bude mít matice v bázi tvořené vlastními vektory matice A ?

Spočítám matici výjde mi $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Clambda%5E3%20%2B%202%5Clambda%20-%206%5Clambda%20%2B%204$

Pomocí Hornerova schématu dojdu k $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=-%20%5Clambda%5E2%20%2B%202%5Clambda%20-%204$

A ted nevím jak mám z toho dostat vlastní čísla, tak kdyby mi někdo řekl jak na to byl bych moc vděčný.
Díky

xificurC · 12. 05. 2008 20:09

Nechapem otazke, prve cislo, pomocou ktoreho si upravil prvy tvar na kvadraticky, ktory si dosadil do Hornerovej schemy, to je prva vlastna hodnota a korene tej kvadratickej rovnice budu zase zvysnymi dvoma vlastnymi hodnotami.

noxondra · 12. 05. 2008 22:05

Bohužel já zas nechápu co jsi mi napsal ty :( vypadá to že jsem úplně vypatlaný. Kdyby mi to někdo vysvětlil po lopatě.

robert.marik · 12. 05. 2008 22:10

No jestli je sparvne ten charakteristicky polynom tretiho stupne, tak staci hio polozit roven nule a urcit koreny. Jeden koren jste nasel pomoci Hornerova schematu, tak zbyva najit dalsi dva, treb adal pomoci Hornerova schematu

xificurC · 12. 05. 2008 22:57

Dobre, komplexna odpoved:

Pre danu bilinearnu formu (presnejsie Tvoju maticu) hladas tzv. charakteristicky polynom, ktory vyjadrujes pomocou determinantu $|A^{\tiny{T}}-\lambda \cdot I|$ , ktory konkretne vyzera nasledovne: $\begin{vmatrix} 1-\lambda & -1 & -1 \nl -1 & 1-\lambda & -1 \nl 1 & 1 & 3-\lambda \end{vmatrix}$ . Vyjde Ti polynom tretieho stupna. Tento, ked polozis rovny nule, dostanes dane vlastne hodnoty. Mne vyslo nieco taketo: $(1-\lambda)\cdot (\lambda^2-2\lambda +4)=0$ . Prva vlastna hodnota je jasna z prvej zatvorky, teda $\lambda_1=1$ . Druhe dve plynu z druhej zatvorky, ktora ma vsak len komplexne riesenia. Ak teda pracujete aj na obore komplexnych cisel, vysledky su nasledovne: $\lambda_2=1+i\sqrt{3}$ a $\lambda_3=1-i\sqrt{3}$ . Ak niecomu nebudes chapat, pripadne budes potrebovat vysvetlenie krokov, ci vyhladanie vlastnych vektorov, znovu sa ozvi, ja, alebo niekto iny Ti odpovie ;)