Matematické Fórum

Zetomcek · 26. 01. 2011 11:19

Zdravim chcem sa opytat ze ked mame 2 dif.rovnice 2 radu : tak akym postupom ich prevedieme na dif.rovnice prveho radu? aby sme dostali tieto rovnice : Velmi pekne dakujem, ak mi to niekto v skratke vysvetli ,ide o rovnice na vypocet balistickej krivky s konstantnou hmostnostou.

Rumburak · 26. 01. 2011 11:35

Oním postupem je pouhá substituce $x_1 \,:= x$ , $x_2 \,:= x'$ (vpravo je derivace podle t) pro první rovnici ,
obdobně pro druhou rovnici.

Zetomcek · 26. 01. 2011 13:24

Nasiel by sa niekto kto by mi mohol vysvetlit postup substitucie prosim, alebo nejaky link kde to je nejako vysvetlene, diki moc.

maly_kaja_hajnejch-Lazov · 26. 01. 2011 13:39

http://cs.wikipedia.org/wiki/Substituce_(matematika)

Rumburak

↑ Zetomcek:
To je přece téměř triviální. Když položíme

(1) $x_1 \,:= x$ ,
(2) $x_2 \,:= x' = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d} t$ ,

pak vyloučením proměnné x z těchto rovnic obdržíme

(3) $x_2\,=\,\frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d} t}$ ,

dosazením (1) do rovnice

$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2}\,+\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d} t}\,=\,0$

dostaneme

$\frac{\mathrm{d}^2 x_1}{\mathrm{d} t^2}\,+\,\frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d} t}\,=\,0$

a sem když dále dosadíme z (3), máme

$\frac{\mathrm{d} x_2}{\mathrm{d} t}\,+\,x_2\,=\,0$

což je totéž, co

$\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d} t}\,=\,-x_2$ .

Zetomcek · 26. 01. 2011 14:10

Diki moc uz tomu zacinam rozumiet, ale este jedna asi primitivna otazka, od kial si zistil ze $http://www.matweb.cz/cgi-bin/mimetex.cgi?\opaque{}x_1%20\,:=%20x$ a $http://www.matweb.cz/cgi-bin/mimetex.cgi?\opaque{}x_2%20\,:=%20x'%20=%20\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}%20t$

Rumburak

↑ Zetomcek:

To je DEFINICE té substiuce. Právě takovou substituci je potřeba provést, aby se rovnice $\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2}\,+\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d} t}\,=\,0$
převedla na soustavu

$\frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d} t}\,=\,x_2$ , $\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d} t}\,=\,-x_2$ .

Obdobně se postupuje i u lin. rovnic vyších řádů. Máme-li rovnici n-tého řádu

(I) $x^{(n)} \,+\, a_1x^{(n-1)}\,+\,...\,+\, a_n x \,=\, b$ ,

klademe

(S) $x_k \,:= x^{(k-1)}$ pro k = 1,..., n ,

tím obdržíme n-1 DIFERENCIÁLNÍCH rovnice ${x_1}'= x_2$ , ... , ${x_{n-1}}'= x_n$ , k tomu přidáme ještě n-tou rovnici

${x_n}' \,= \,-( a_1x_n\,+\,...\,+\, a_n x_1) \,+\, b$ ,

kterou získáme dosazaním dle (S) do původní rovnice (I).

Tímto postupem je rovnice (I) n-tého řádu, v níž je neznámou "skalární" funkce $x(t)$ , převedena na rovnici 1. řádu,
v níž neznámou je vektorová funkce $\vec{x}(t) =$x_1(t),\,...,\,x_n(t) $$ . Získanou vektorovou rovnici pak můžeme zapsat
v maticovém tvaru

(II) $\vec{x}' \,=\,A\vec{x} \,+\, \vec{b}$ .

Řád rovnice jsme tak převedli na dimensi prostoru, což poskytuje možnost lepšího vhledu do teoretické problematiky.
Je to v podstatě takový trik, který kdosi vymyslel a jehož znalost patří ke vzdělání v teorii lineárních ODR.