Matematické Fórum

lacikes · 15. 01. 2011 14:30

Ahojte, poprosim vas o pomoc s tymto prikladom:

V krabici mame 30 sroubku a 24 matek. Vybiram po jednom tak dlouha az mam dva sroubky nebo dve matky. Jaky je prumerny pocet tahu?

Ja by som na to siel, ze dokopy mame 54 veci..Dva rovnake vysledky vytiahneme najskor na druhy pokus, najneskor vsak na treti. to znamena, mnozina tahov A={2,3}.

p2= vytiahneme dva sroby alebo dve matky.. [C(30,2) / C(54,2)] + [C(24,2) / C(54,2)]
p3=vytiahneme na prvy pokus matku a ostatne budu sroby alebo srob a dve matky
[(C(24,1)*C(30,2)) / C(54,3)]+[(C(30,1)*C(24,2)) / C(54,3)]

ked scitam obidva pripady, skuska spravnosti mi absolutne nevyjde 1. Poprosim vas niekoho o radu, voprad dakujem.

petrkovar · 15. 01. 2011 15:38

$p_2$ je vypočítáno správně.
Ve výpočtu $p_3$ je systematická chyba. Abychom museli tahat třikrát, musí být vytažen nejprve šroub a pak matka (nebo naopak) a teprve potom další součástka. NEMŮŽEME proto počítat počet všech možností jako neuspořádaný výběr $C(54,3)$ ani počty příznivých tahů jak je uvedeno v předchozím příspěvku. Zkuste počítat s rozlišením pořadí užitím variací.
Mimochodem: na písemce by stačilo vzít $p_3=1-p_2$ , ale souhlasím, že sem patří pečlivější rozbor.

(Téma jsem přesunul, je to příklad z poslední písemky.)

DiPietro · 18. 01. 2011 18:12

to by me taky zajimalo..treba V(24,1)xV(30,2) + V(30,1)xV(24,2)?

petrkovar · 18. 01. 2011 20:28

↑ DiPietro:Není jasné, co se v předchozím příspěvku počítá. Jistě ne $p_3$ , neboť pravděpodobnost leží mezi 0 a 1.
Navíc pro výpočet $p_3$ je potřeba uvážit výběr tří a ne dvou kusů.

mysteriouss

Za kolik bodů by to bylo jiným způsobem?

šroubů = 30
matek = 24

Vypíšeme si všechny možnosti jak splnit zadání.
možnosti:
šš (2 tahy)
mm (2 tahy)
šmm (3 tahy)
mšš (3 tahy)
šmš (3 tahy)
mšm (3 tahy)

$P_1 = \frac{30}{54}*\frac{29}{53} = \frac{870}{2862}$
$P_2 = \frac{24}{54}*\frac{23}{53} = \frac{552}{2862}$
$P_3 = \frac{30}{54}*\frac{24}{53}*\frac{23}{52} = \frac{16560}{148824}$
$P_4 = \frac{24}{54}*\frac{30}{53}*\frac{29}{52} = \frac{20880}{148824}$
$P_5 = \frac{30}{54}*\frac{24}{53}*\frac{29}{52} = \frac{20880}{148824}$
$P_6 = \frac{24}{54}*\frac{30}{53}*\frac{23}{52} = \frac{16560}{148824}$
V každé pravděpodobnosti je zlomek složen jako čitatel = počet šroubů nebo matek ze kterých můžeme tahat, jmenovatel = počet všech prvků ze kterých lze tahat. Jak si můžeme všimnout v každém kroce se počty snižují o 1. O 1 právě proto, že v předchozím tahu jsme již jeden prvek odebrali.

zk. $P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 + P_6 = \frac{870}{2862} + \frac{552}{2862} + \frac{16560}{148824} + \frac{20880}{148824} + \frac{20880}{148824} + \frac{16560}{148824} = 1$
Provedli jsme kontrolu - součet všech pravděpodobností musí být roven 100% tj. 1.

Nyní každou pravděpodobnost vynásobíme počtem tahů (viz. hodnoty v závorkách u vypsaných možností) a sečteme je.
$P = 2*\frac{870}{2862} + 2*\frac{552}{2862} + 3*\frac{16560}{148824} + 3*\frac{20880}{148824} + 3*\frac{20880}{148824} + 3*\frac{16560}{148824} =$
$= \frac{90480}{148824} + \frac{57408}{148824} + \frac{49680}{148824} + \frac{62640}{148824} + \frac{62640}{148824} + \frac{49680}{148824} =$
$= \frac{372528}{148824} = \frac{46566}{18603} =$
$= 2.50314...$
Průměrný počet tahů než vytáhneme 2 šrouby nebo 2 matky je 2.50314... .

Zakolik bodů by bylo tohle?

petrkovar · 27. 01. 2011 12:56

Řešení je správně.
Výhrady mám jen k formální stránce zápisu střední hodnoty. Jednak se obvykle neznačí P a jednak by se měly některé pravděpodobnosti sečít dříve, než se budou násobit hodnotou náhodné proměnné (mimochodem, kde je náhodná proměnná? Jaké nabývá hodnoty?). Nicméně body by po této úpravě měly být všechny.
Dál bychom měli pokračovat přidáváním příspěvků a nikoliv editací.

mysteriouss

Omlouvám se místo P by melo byt E(x). Do dokonalosti takto:

$E(x) = 2*(\frac{870}{2862} + \frac{552}{2862}) + 3*(\frac{16560}{148824} + \frac{20880}{148824} + \frac{20880}{148824} + \frac{16560}{148824}) =$
$= 2*\frac{1422}{2862} + 3*\frac{74880}{148824} =$
$= \frac{2844}{2862} + \frac{224640}{148824} =$
$= \frac{372528}{148824} = \frac{46566}{18603} =$
$= 2.50314...$

Náhodná proměnná je počet tahů napsaných u možností jakými můžeme vytáhnout 2 šrouby nebo matky.

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2011 14:30

Stredna hodnota..

#2 15. 01. 2011 15:38

Re: Stredna hodnota..

#3 18. 01. 2011 18:12

Re: Stredna hodnota..

#4 18. 01. 2011 20:28

Re: Stredna hodnota..

#5 27. 01. 2011 12:35 — Editoval mysteriouss (27. 01. 2011 13:21)

Re: Stredna hodnota..

#6 27. 01. 2011 12:56

Re: Stredna hodnota..

#7 27. 01. 2011 13:30 — Editoval mysteriouss (27. 01. 2011 13:37)

Re: Stredna hodnota..

Zápatí