Matematické Fórum

spider · 13. 05. 2008 18:46

Mám tady tuto slovní úlohu na globální extrémy (pravděpodobně lze řešit i jinak). Žádnou úlohu s hledáním nejbližšího budu k jinému bodu na křivce jsme nedělali ani jsem nikde nic podobného nenašel, proto prosím o radu jak to vypočítat. Jakékoliv pomoci si cením.

Na parabole o rovnici $y = 6x-x^2$ najděte bod, který je nejblíže bodu [-11; 8]

plisna · 13. 05. 2008 19:20

oznacme bod paraboly $[x, 6x-x^2]$ . pak vzdalenost tohoto bodu a bodu [-11, 8] je $f(x) = \sqrt{(x+11)^2+(6x-x^2-8)^2}$ . nyni staci vysetrit funkci a naleznout extrem - minimum

spider · 13. 05. 2008 22:30 — Editoval spider (13. 05. 2008 22:31)

Děkuji za naznačení řešení, zkusil jsem řešit jak jsme se učili, ovšem jedná se o neuzavřený interval, tudíž si nejsem příliš jist správností řešení:

derivace je : $f'(x)=\frac{(x+11)+2(6x-x^2-8)(6-2x)}{2*\sqrt{(x+11)^2+(6x-x^2-8)^2}}=\frac{2x^3-18x^2+53x-37}{\sqrt{x^4-12x^3+53x^2-74x+185}}$
ta bude na 99% dobře

najdu stacionární body, tedy:
$2x^3-18x^2+53x-37=0$
$x(2x^2-18x+53)=37$
z toho
$x_1 = 37$
$D=2*sqrt187$
$x_2 = 11,33$
$x_3 = -2,337$

Těmito body získám intervaly přičemž pro:
$f'(x),x\epsilon(-\infty;-2,37) <0$
$f'(x),x\epsilon(-2,37;11,33) <0$
$f'(x),x\epsilon(11,33;37) > 0$
$f'(x),x\epsilon(37;\infty) > 0$
z toho tedy plyne, že funkce má lokální minimum v bodě x0=11,33, tedy f(11,33)=71,94.
Nejbližší body by tedy měl být o souřadnicích (11,33;71,94).

Prosím o kontrolu mého postupu, protože si zdaleka nejsem jist, že jsem postupoval správně, obzvláště co se týče určení stacionárních bodů, nevím jestli se nemusí řešit i jmenovatel té derivace. Taky je mi divné, že mi nevyšlo žádné globální maximum. Předem děkuji za pomoc.

plisna · 13. 05. 2008 23:40

u te derivace ti utekla "dvojka" u clenu (x+11) v citateli, takze tam vyjde jiny polynom a tudiz take jine koreny - vyjde jeden realny a dva komplexne sdruzene. jinak na tom, ze uvedena funkce nebude mit maximum, neni prece nic divneho, kdyz si predstavis, ze vlastne jejim grafem je typove neco pripominajici parabolu y=x^2; zkus si to trosku rozmyslet.

robert.marik

$x(2x^2-18x+53)=37$
jak odsud plyne
$x_1 = 37$ ??? A co dosazeni a zkouska, vyjde to???

pokud pri reseni rovnice
$<br />2x^3-18x^2+53x-37=0 <br />$
upravime na tvar
$<br />x(2x^2-18x+53)=37<br />$
je to bohuzel cesta do pekel. Takze nejenom ze je spatne jak psal Plisna ta derivace, ale i ten vypocet stacionarnich bodu.

spider · 14. 05. 2008 12:31

Derivace je správně, tu dvojku jsem akorát zapomněl dopsat zde, jinak na papíře to mám. Tudíž i úprava je správně, ale z té úpravy kterou jsem udělal výsledek nedostanu, takže jsem si ten vrchní člen derivace upravil takto
$(x-1)*(2x^2-16x-37)$
$x_1=1$
$x_{2,3}=4+\frac{\sqrt{10}}{2}i,4-\frac{\sqrt{10}}{2}i$

Toto už tedy bude správně, otázka ovšem zní jak se určí extrémy, když jsou dva stacionární body komplexního charakteru? Mám je převést na absolutní hodnotu?

plisna · 14. 05. 2008 12:46

jelikoz neuvazujeme tu parabolu v komplexni rovine, tak proste vezmeme pouze realne koreny, takze mame jeden stacionarni bod.

jelena · 14. 05. 2008 12:56

↑ plisna:

Zdravim :-)
pokud kolega resi zavorku $2x^2-16x-37=0$ , kde se vzalo i ?

plisna · 14. 05. 2008 13:32

to jelena, to spider:

kdyz se funkce f(x) z #2 zderivuje a upravi, tak v citateli je polynom $4x^3-36x^2+106x-74$ . pro nalezeni stacionarnich bodu tedy resime rovnici $4x^3-36x^2+106x-74=0$ , jejiz koreny jsou skutecne ty, ktere spider uvedl v #6, nicmene spatne zapsal rozklad, ten je totiz $(x-1)(4x^2-32x+74)$ . pak uz to vyjde, jak ma.

spider · 14. 05. 2008 14:47 — Editoval spider (14. 05. 2008 14:51)

Takže jsem zjistil, že funkce $f(x) = \sqrt{(x+11)^2+(6x-x^2-8)^2}$ má globální minimum v bodě x0=-1, tedy x-ová souřadnice hledaného bodu je -1, a y-ovou souřadnici hledaného bodu dopočtu dosazením -1 do rovnice paraboly, tedy y=6*(-1)-(-1)^2=-7. Hledaný bod na parabole, který je neblíže bodu [-11;8] je tedy [-1;-7].

plisna · 14. 05. 2008 14:56

a proc je min v bode x = -1? vzdyt stacionarni bod je x = 1

spider · 14. 05. 2008 15:06 — Editoval spider (14. 05. 2008 15:49)

Ano, opět jsem se spletl, má tam být x0=1, tedy y=6*1-(1)^2=5, Hledaný bod na parabole, který je neblíže bodu [-11;8] je tedy [1;5]. Je to správně?

plisna · 14. 05. 2008 16:08

rekl bych, ze to uz by mohl byt spravny vysledek

jelena · 15. 05. 2008 00:25

↑ plisna:

uz chapu, dekuji, ja jsem nakoukla jen na tu neopravenou rovnici a prislo mi to divne :-)

KkarlosS · 18. 05. 2008 11:36

Nehodil by to někdo celé dohromady jak je to správně prosím??? Jsem z toho zmatený

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2008 18:46

Slovní úloha na extrémy s parabolou

#2 13. 05. 2008 19:20

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

#3 13. 05. 2008 22:30 — Editoval spider (13. 05. 2008 22:31)

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

#4 13. 05. 2008 23:40

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

#5 14. 05. 2008 00:07 — Editoval robert.marik (14. 05. 2008 00:09)

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

#6 14. 05. 2008 12:31

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

#7 14. 05. 2008 12:46

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

#8 14. 05. 2008 12:56

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

#9 14. 05. 2008 13:32

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

#10 14. 05. 2008 14:47 — Editoval spider (14. 05. 2008 14:51)

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

#11 14. 05. 2008 14:56

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

#12 14. 05. 2008 15:06 — Editoval spider (14. 05. 2008 15:49)

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

#13 14. 05. 2008 16:08

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

#14 15. 05. 2008 00:25

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

#15 18. 05. 2008 11:36

Re: Slovní úloha na extrémy s parabolou

Zápatí