Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé středoškolské úlohy
- » Geometrická úloha (zajímavá (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 27. 01. 2011 15:27
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Geometrická úloha (zajímavá
Nechť je dán trojúhelník ABC, jemuž je opsána kružnice k se středem S, dále je mu vepsána kružnice m se středem P a body dotyku G(a), G(b), G(c) po řadě na stranách BC, AC, AB. Nad průměry PG(a), PG(b), PG(c) sestrojme Thaletovy kružnice n(a), n(b), n(c). Průnik kružnic n(a), n(b) označme M(c), body M(a) a M(b) definujeme analogicky. Dokažte, že pokud T je těžiště trojúhelníku M(a)M(b)M(c), pak body P, S, T leží na jediné přímce.
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Anonymystik)
#2 27. 01. 2011 21:39 — Editoval ruamaixanh (27. 01. 2011 21:57)
- ruamaixanh
- Místo: Tachov
- Příspěvky: 100
- Reputace: 11
Re: Geometrická úloha (zajímavá
leží na přímce. Analogicky 
leží na přímce a 
leží na přímce , navíc PM(c) je výška v rovnorammenném trojúhelníku PG(a)G(b), aproto M(c) je také střed strany G(a)G(b) neboli C,M(c),P leží na 1 přímce 
.
, aproto 
těžnice G(c)M(c) trojúhelníka G(a)G(c)G(b) dělí stranu M(a)M(b) na 2 poloviny, to znamená G(c)M(c) je také těžnicí ve trojúhelníku M(a)M(b)M(c), analogicky můžeme odvodit, že platí totéž pro 2 zbývající těžnice, aproto těžiště trojúhelníka M(a)M(b)M(c) je také těžiště trojúhelníka G(a)G(c)G(b).
a podobne platí 
a 
.Odkaz na Eulerovu přímku http://cs.wikipedia.org/wiki/Eulerova_p%C5%99%C3%ADmka
Offline
#3 27. 01. 2011 22:21
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Geometrická úloha (zajímavá
Ten důkaz vypadá velice zajímavě a vypadá správně. Já jenom dodám, že moje řešení je úplně jiné, ale došel jsem k tomu samému.
Zobrazil jsem trojúhelník ABC podle kruhové inverze dané kružnicí vepsanou trojúhelníku ABC na oblouky kružnic n(a), n(b), n(c) .... rozmysli si, proč tomu tak je. Proto kružnice opsaná trojúhelníku ABC se zobrazí na kružnici opsanou trojúhelnéku M(a)M(b)M(c), neboť M(a) je obrazem A, M(b) je obrazem B a M(c) je obrazem C.
Věta : "Pokud se kružnice k1 se středem S1 zobrazí podle kruhové inverze se středem v bodě I na kružnici k2 se středem S2, pak body S1, S2, I leží na přímce (rozmysli si proč)".
Podle této věty také střed kružnice opsané trojúhelníku M(a)M(b)M(c) - označme ho X - dále bod P a bod S leží na jedné přímce..... X, P, S jsou kolineární.
Bod P je ortocentrum trojúhelníka M(a)M(b)M(c) (to lze dokázat snadno - stačí na to věta o shodnosti obvodových úhlů no a pak dopočítáváš úhly, musíš dokázat kolmost). Na stejné přímce jako střed X kružnice opsané trojúhelníka M(a)M(b)M(c) a ortocentrum P trojúhelníka M(a)M(b)M(c) leží i jeho těžiště T(Eulerova přímka) .... X, P, T jsou kolineární.
Závěry z obou těchto odstavců dají dohromady i dokazované tvrzení.
Ten druhý odstavec je trochu podobný tomu, s čím tam figuruješ i ty, akorát ty si hraješ s trojúhelníkem G(a)G(b)G(c) a já jen s jeho příčkovým zmenšením M(a)M(b)M(c), zmenšuje se podle stejnolehlosti s koeficientem -1/2 a středem T.
btw - tuhle úlohu jsem vymyslel sám, tak doufám, že se líbila. (-:
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé středoškolské úlohy
- » Geometrická úloha (zajímavá (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)