Matematické Fórum

Skrytý text:

přes taylorův rozvoj.

Když kolega nemá čas, tak snad jen velice stručně a nerigorózně.

1) Převést rozdíl ve jmenovateli na stejného jmenovatele, vyhodit kosínus přes aritmetiku z limity.
2) Vytknout sinus, dostat . Sinus nahradit aritmetikou x.
3) Rozšířit x^2/x^2, vyhodit dvojku aritmetikou díky limitě (1-cosx)/x^2. Ve jmenovateli je teď x^3.
4) V čitateli rozvíjet oba Taylorem, sledovat jen x^3. x se poodčítá, větší mocniny se limitně ztratí. Ze zanořených tangent dostávám n x^3/3, odčítám -nx^3/6 ze sinů, dostávám nx^3(2/6 + 1/6).
5) Přes různé aritmetiky apod. dostávám limitu rovnou n.

Skrytý text:

Označme , podobně pro sinus.
Odečetl a přičetl jsem si v čitateli . Část s se vyřeší snadno – vytkne se tangens a použije se spousta aritmetiky limit a známé limity a . Limita této části s jmenovatelem dá jedničku. Na zbytek s se použije vzorec pro rozdíl sinů. Dál je to jednoduché a převede se to na podobnou limitu, dostaneme

.

Snadno zjistíme, že a je hned jasné, že .