Matematické Fórum

ZodiacCZ · 24. 01. 2011 18:17

Zdravím!

Dělá mi potíže rovnice:

$|1-x^{2}|=p-1$

Hledám pro jaké hodnoty parametru má rovnice právě dva různé kořeny.

Prvně jsem řešil rovnici v intervalech:
$(-\infty, -1) , (1. \infty)$ a výsledek byl $x=+-\sqrt{p}$

a v intervalu
$-(1,1)$ byl výsledek $x=+-\sqrt{2-p}$

S tím jsem moc dále nepohnul, tak jsem původní rovnici umocnil

$|1-x^{2}|^{2}=(p-1)^{2}$
a došel k rovnici:
$x^{4}-2^{2}-p^{2}+2p =0$
zavedl jsem substituci
$y=x^{2}$
$y^{2}-2y-p^{2}+2p = 0$
$y_{1,2}=\frac{2+-\sqrt{4p^{2}-8p+4}}{2}$

Teď vím, že aby rovnice měla 2 kořeny, musí být hodnota pod odmocninou > 0, takže:

$p^{2}-2p+1>0$
$(p-1)^{2}>0$
$p>1$
ale tady se zamotávám, protože výsledek by měl být roven
$p=1 \vee p>2$

Dana1 · 24. 01. 2011 18:40 — Editoval Dana1 (24. 01. 2011 18:52)

↑ ZodiacCZ:

Z $(p-1)^{2}>0$ tohto nevyplýva $p>1$ , ešte aj súčin dvoch záporných čísel môže byť kladný.

Myslím, že druhá mocnina čohokoľvek je väčšia alebo rovná 0 vždy.

Myslím, že sa treba vrátiť na začiatok.

ZodiacCZ · 24. 01. 2011 18:54

Špatně jsem to napsal, z toho vlastně vyplývá, že p je z R.

Na začátek jsem se vracím už celý den a pořád se nemůžu dobrat výsledku.

Pavel Brožek · 24. 01. 2011 19:07

↑ ZodiacCZ:

To umocnění je zbytečné. Řekl bych, že první pokus byl lepší. Zkus rovnici vyřešit kompletně na množině $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ . Proveď tam i diskuzi vzhledem k parametru p. Pak rovnici kompletně vyřeš na intervalu $(-1,1)$ a napiš si diskuzi. Dohromady už to půjde dát snadno.

Dana1 · 24. 01. 2011 19:15

↑ ZodiacCZ:

Z toho, že naľavo je absolútna hodnota vyplýva, že p musí byť väčšie alebo rovné 1(absolútna hodnota nemôže byť záporná).

Keď x je medzi -1 a 1 , vyjde riešenie $x=+-\sqrt{p}$ , z čoho p >0.

Do výsledku príkladu ale patrí aj to, že ten výsledok musí x "položiť" do toho intervalu, t. j. $+-\sqrt{p}$ musí byť z intervalu (-1;1). Bude to len

vtedy, keď p bude menšie alebo rovné 1 a väčšie ako 0. Keď to dáš dokopy s červeným vzťahom, vyjde Ti p = 1.

ZodiacCZ · 24. 01. 2011 20:26

↑ Dana1:

Právěže, když je x v intervalu (-1,1), tak výraz v absolutní hodnotě vychází kladný, takže výsledná rovnice vypadá $x=+-\sqrt{2-p}$ , nebo jsem na omylu?

↑ BrozekP:

Provedl jsem diskusi v intervalu $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ a výsledek je, že
$p<0 \wedge x \in []$
$p=0 \wedge x=0 => x \[]$
$p>0 \wedge x=+-\sqrt{p}$

a v intervalu $(-1,1)$
$p>2 \wedge x \in []$
$p=2 \wedge x=0$
$p<2 \wedge x=+-\sqrt{2-p}$

Ale i přesto nevidím výsledek p=1 nebo p>2

Dana1 · 24. 01. 2011 21:30

↑ ZodiacCZ:

Nie, s tým intervalom máš pravdu - ale p musí byť súčasne ešte aj väčšie ako 1, vždy, kvôli tej absolútnej hodnote.

Pavel Brožek

↑ ZodiacCZ:

Tvému zápisu moc nerozumím.

Řešení na $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ bych si představoval asi takto:

Absolutní hodnotu můžeme z definice nahradit:

$-(1-x^2)=p-1$

Po úpravě

$x^2=p$ .

Okamžitě vidíme, že pro $p<0$ rovnice nemá na uvažovaném intervalu řešení (ukáže se, že jinde také ne, ale to teď vůbec neřešíme). Pro $p\geq0$ dostáváme dvě možnosti

$x=\pm\sqrt p$

Nás ale zajímají pouze x z množiny $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ . Pro $p\in[0,1)$ tak nedostáváme žádné řešení ( $\pm\sqrt p\not\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ ) a pro $p\geq1$ máme dvě řešení $\pm\sqrt p$ .

Diskuse:

$p\in(-\infty,1)\qquad x\in\emptyset\nl p\in\[1,\infty)\qquad x\in\{-\sqrt p, \sqrt p\}$

Můžeš teď zkustit řešit na intervalu $(-1,1)$ .

Dana1 · 24. 01. 2011 23:16 — Editoval Dana1 (24. 01. 2011 23:23)

↑ BrozekP:

Načrtla som si graf |-x^2 + 1 | = y

Bola to tá vnútorná parabola a čo sa spravilo pod os x sa preklopilo nad ňu. Jej vrchol je v bode (0;1).

V tomto základnom obrázku sú už dva korene, a síce tam, kde y=0, tj tam, kde p = 1, lebo my máme (p-1) miesto y.

Keď chceme, aby sa pri posúvaní po osi y graf s osou x preťal znova presne dvakrát, musíme ho posunúť smerom dolu najmenej o 1 (vtedy sú ale

presne 3 korene, pri menšom posune sú 4 (všetko spod osi x sa preklápa nad ňu). Posun musí byť väčší ako 1, teda p - 1 musí byť > 1 a z toho p >2.

y = |-x^2 + 1 | - (p-1) ..... absolútna hodnota základný graf, -(p-1) posun nadol o (p-1)

Finta je asi v počte koreňov, nechceme 4 korene ani 3, iba presne 2 a pri tých výpočtoch sa asi vytvárala aj tá trojica, aj štvorica koreňov.

Pavel Brožek

↑ Dana1:

To je pěkný přístup, neuvědomil jsem si, že se na to dá dívat takhle. Jen bych to ještě trochu vylepšil – vyjádřil si rovnou p a nezaváděl žádné y.

$p(x)=|1-x^2|+1$ .

ZodiacCZ · 25. 01. 2011 17:26

Máte oba naprostou pravdu, díky moc...proto to moje řešení pomocí intervalů bylo ošemetné, bylo tam ještě více kořenů, takže k vyřešení nakonec stačil jen graf :) můžete uzavřít téma jako vyřešené a ještě jednou děkuju

Pavel Brožek · 25. 01. 2011 17:28

↑ ZodiacCZ:

Označit ho jako vyřešené můžeš sám – je na to odkaz v prvním příspěvku :-).

Díky, žes dal vědět.

AlfaOmega

Téma je sice uzavřené, ale já bych to řešila klidně bez grafu. Jen se chci zeptat nakolik je můj postup zcestný:)
$|1-x^2|=p-1$

Na první pohled vidím, že musí platit $p\ge1$ , protože absolutní hodnota nemůže být menší než nula.

Teď si vypočítám x. Nejprve s kladnou variantou absolutní hodnoty.
$-x^2=p-2$
$x=\pm\sqrt{2-p}$
Jen je jasné, že tohle platí pouze pro $p\le2$ , protože nemůžeme odmocňovat záporné číslo.

Teď se zápornou variantou absolutní hodnoty.
$x=\pm\sqrt{p}$

Takže z toho všeho mi vyplývá

$p<1\Rightarrow x=\empty$
$1\le p \le2 \Rightarrow x=\{\pm\sqrt{2-p}, \pm\sqrt{p}\}$
$p>2 \Rightarrow x=\{\pm\sqrt{p}\}$

A ta třetí varianta je také řešením úlohy, protože má dva kořeny.

Pavel Brožek · 27. 01. 2011 12:20

↑ AlfaOmega:

Nikde neověřuješ, že ta řešení $x=\pm\sqrt{2-p}$ a $x=\pm\sqrt{p}$ skutečně odpovídají kladné a záporné variantě absolutní hodnoty. Zde to tak vyjde, ale obecně nemusí.

AlfaOmega

↑ BrozekP:

Ano jasně, díky moc. Jenže z toho jsem teď zmatená. Protože záporná varianta absolutní hodnoty podle mě není v intervalu $(-\infty,-1>\cup<1,\infty)$ jak píšeš, ale v intervalu $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ , z čehož vyplývá, že řešení $+-\sqrt p$ platí pouze pro $p>1$ a pro $p=1$ platí pouze řešení $+-\sqrt{2-p}$
Ve skutečnosti ale samozřejmě platí oboje, protože $p=1 \Rightarrow p=2-p$ , tak co teď s tím?

Diskuse by pak tedy byla takhle?

$p<1\Rightarrow x=\empty$
$p=1 \Rightarrow x=\{+-1\}$
$1< p \le2 \Rightarrow x=\{\pm\sqrt{2-p}, \pm\sqrt{p}\}$
$p>2 \Rightarrow x=\{\pm\sqrt{p}\}$

A dva kořeny má tedy rovnice tehdy když $p=\{1\} \vee p\in (2,\infty)$ ?
Nebo to už je moc velká blbost? :) Moc se omlouvám, že tu takhle pitvám už vyřešený příklad, ale zrovna se tu taky mořím s podobnými příklady a správný výsledek jsem z diskuze nepochopila.

Dana1 · 27. 01. 2011 21:28

↑ AlfaOmega:

Výsledok je hneď v 1. príspevku (aj v iných) - taký ako Tvoj.

AlfaOmega · 27. 01. 2011 21:45

↑ Dana1:

Aha díky moc, jsem hloupá. Já si toho u prvního příspěvku nevšimla, skončila jsem u toho, že se jeho autor zamotává:)
Ještě jednou se moc omlouvám.

Pavel Brožek · 27. 01. 2011 21:47

↑ AlfaOmega:

To je jedno, jestli vezmeš definici absolutní hodnoty x tak, že

a) pro $x<0$ je $|x|=-x$ a pro $x\geq0$ je $|x|=x$ nebo
b) pro $x\leq0$ je $|x|=-x$ a pro $x>0$ je $|x|=x$ .

Já jsem to rozebíral podle varianty b).

Diskuzi máš dobře, jen nepiš, že se x nebo p rovnají množině. Buď se rovnají nějakému číslu nebo jsou z nějaké množiny.

AlfaOmega · 27. 01. 2011 22:12

↑ BrozekP:

No tak teď aspoň vyšlo najevo jaké jsem trdlo:) Zápisy mi nikdy nešly.
Ještě jednou díky.

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2011 18:17

Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#2 24. 01. 2011 18:40 — Editoval Dana1 (24. 01. 2011 18:52)

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#3 24. 01. 2011 18:54

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#4 24. 01. 2011 19:07

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#5 24. 01. 2011 19:15

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#6 24. 01. 2011 20:26

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#7 24. 01. 2011 21:30

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#8 24. 01. 2011 21:47 — Editoval BrozekP (24. 01. 2011 21:48)

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#9 24. 01. 2011 23:16 — Editoval Dana1 (24. 01. 2011 23:23)

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#10 24. 01. 2011 23:33 — Editoval BrozekP (24. 01. 2011 23:33)

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#11 25. 01. 2011 17:26

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#12 25. 01. 2011 17:28

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#13 27. 01. 2011 09:00 — Editoval AlfaOmega (27. 01. 2011 10:15)

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#14 27. 01. 2011 12:20

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#15 27. 01. 2011 21:10 — Editoval AlfaOmega (27. 01. 2011 21:22)

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#16 27. 01. 2011 21:28

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#17 27. 01. 2011 21:45

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#18 27. 01. 2011 21:47

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

#19 27. 01. 2011 22:12

Re: Rovnice s absolutní hodnotou a parametrem

Zápatí