Matematické Fórum

Freezer · 27. 01. 2011 16:49

Zdravim
Je zadano vektorove pole [(x-y)/(x^2+y^2);(x+y)/(x^2+y^2)]; A[0;1] a B[1;1] a zaukol je overit potencial pole spocitat ho a pak vypocitat integral od A do B. Pole mi vyslo potencialni a potencial mi vysel 1/2ln(x^2+y^2)-arctan(x/y)+K (snad spravne.. po zderivovani podle ypsilon mi vyslo ze C1´(y)=0). Poradil by mi nekdo jaky integral mam pocitat?

Rumburak · 27. 01. 2011 17:14

Jestliže vektorové pole $\vec{u}(X)$ , $X\in \mathb{R}^2$ , má v oblasti G potenciál $P(X)$ (tj. $\vec{u}(X) =\mathrm{grad} P(X)$ ),
potom hodnota integrálu

$\int_A^B \vec{u}\circ \varphi \,\mathrm{d}\varphi$

při pevně zvolených bodech A, B z oblasti G nezávisí na bližší volbě křivky $\varphi$ a je rovna $P(B) - P(A)$ .

O křivce $\varphi$ samozřejmě předpokládáme, že začíná v bodě A a končí v bodě B a že jsou též naplněny předpoklady, které
požaduje definice křivkového integrálu.

Freezer

Takze pokud krivka neni zadana tak se jedna o integral od A do B z vysledneho potecialu .. pochopil jsem to dobre? :) tj. pouze dosadim x-ove a y-onove souradnice do potencialu a odectu je?

Rumburak

↑ Freezer:
Nejedná se o "integral od A do B z vysledneho potecialu" , ale o vzorec

$\int_A^B \vec{u}\circ \varphi \,\mathrm{d}\varphi \,=\,P(B) \,-\, P(A)$ ,

který říká, že křivkový integrál vlevo umíme vyjádřit pouze pomocí potenciálu, aniž bychom se museli starat o tvar křivky .

Speciálním případem je vzorec

$\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x \,=\,F(b) \,-\, F(a)$

z integrálního počtu funkcí jedné proměnné. Zde F je primitivní funkce k f a hodnota integrálu vlevo při tom nezávisí na tom,
zda a kterou substituci případně použijeme k jeho výpočtu (zda pomocí zvolené substituce integrál spočítat UMÍME, to je ovšem
druhá věc). Potenciál je v podstatě jakýmsi zobecněním primitivní funkce.

Freezer · 28. 01. 2011 09:46

Takze teda vysledek toho integralu je roven potencialu v A - potencial v B.. pokud jsem to opet spatne pochopil tak mi prosim napis jenom co s tim mam provest ta teoreticka cast me zas tak nezajima :D hlavne to musim dopocitat

Rumburak

↑ Freezer:
Ten rozdíl potenciálů jsem ale napsal jako $P(B) - P(A)$ a ne obráceně.
Smyslem výuky matematiky je naučit studenta něco z matematiky, což je především ta "teoretická část". Dosazování do vzorce sem také patří,
ale to je látka ZŠ, tuto část úlohy jistě zvládneš sám :D.

Freezer

Jo omlouvam se spatne jsem to napsal takze B-A(jak rikavala nase matikarka na stredni:"rikam A vidim B pisu C a vyjde D ") :).. ohledne ty teorie.. no muj nazor navec je ze dulezitejsi je umet to praticky vypocitat ale tak to je vcelku jedno :) dik za vysvetleni problemu

PS.: muzes mi kdyztak sdelit kde si tu definici nasel?

Rumburak · 28. 01. 2011 10:24

↑ Freezer:
Když pochopíš tu teoretickou část, pak už snadno příjdeš na to, jak to spočítat. Někdo chápe matematiku jako souhrn návodů v "kuchařce" :
"kopni na to sinus, umocni to na druhou a hoď na to integrál" .
Matematika je o tom umět u některých úloh sám pochopit, co mám udělat, aniž bych se musel dívat to nějakých takových návodů.

Rumburak

↑ Freezer:

Ještě k té otázce v PS, kterou jsem předtím možná přehlédl. Nenapadá mne, kterou definici máš na mysli. Ten vzorec, který jsem uvedl,
není definice, ale věta (která se dokazuje - na rozdíl od definic).
Seznámil jsem se s ní při studiu matematiky, nejspíše na nějaké přednášce, už nevím.

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2011 16:49

Potenciál vektorového pole

#2 27. 01. 2011 17:14

Re: Potenciál vektorového pole

#3 27. 01. 2011 17:20 — Editoval Freezer (27. 01. 2011 17:21)

Re: Potenciál vektorového pole

#4 28. 01. 2011 09:10 — Editoval Rumburak (28. 01. 2011 09:50)

Re: Potenciál vektorového pole

#5 28. 01. 2011 09:46

Re: Potenciál vektorového pole

#6 28. 01. 2011 09:59 — Editoval Rumburak (28. 01. 2011 10:01)

Re: Potenciál vektorového pole

#7 28. 01. 2011 10:09 — Editoval Freezer (28. 01. 2011 10:14)

Re: Potenciál vektorového pole

#8 28. 01. 2011 10:24

Re: Potenciál vektorového pole

#9 28. 01. 2011 11:43 — Editoval Rumburak (28. 01. 2011 11:43)

Re: Potenciál vektorového pole

Zápatí