Matematické Fórum

thejk · 29. 01. 2011 11:19

Zrovna se učím k přijímačkám na VŠ a natrefil jsem na takovou triviální záležitost, ale pro mě nevyřešitelnou :D Vůbec se chci zeptat, co je to vlastně ta absolutní hodnota. Z knížky jsem vyčetl nějakou definici, která mi je ale zcela k ničemu, protože jí nerozumím: "je-li a >0, je |a|=a. je-li a<0, je |a|=-a. Vysvětlil by mi to někdo svými slovy, která budou srozumitelná?

Jinak jsem se zadrhnul u řešení jednoho grafu, ke kterému je udělána absolutní hodnota. Tenkou čarou je vyznačený původní graf a tlustou je udělána absolutní hodnota. Přikládám obrázek a jestli by byl někdo tak hodný a mohl mi to vysvětlit, proč to tak je? :D

mikl3 · 29. 01. 2011 11:22 — Editoval mikl3 (29. 01. 2011 11:29)

↑ thejk: koukej, zkus si do té definice dosadít nějaká čísla...
co udělá absolutní hodnota s číslem záporným? udělá ho kladným co udělá s kladným? nechá ho tak, protože je kladné
ten graf je dobře (asi, nevyznám se v něm trochu:) všechny hodnoty záporné (pod osou y - hodnotový obor) nám to převrátí nad osu (je to podle té osy souměrné)
no když tak na ten graf koukám... tak přiložím tohle
absolutní hodnota je velikost, je to vzdálenost čísla na číselné ose, představ si číselnou osu a na ní čísla -3 -2 -1 0 1 2 3, absolutní hodnota (vzdálenost) čísla třeba -3 je 3 (vzdálenost nemůže být záporná) a ještě na té číselné ose najdeme jedno číslo, které má vzdálenost 3 od osy a to právě 3 (kladná) třeba si můžeš do kružítka nabrat 3 cm (pokud na ose máš měřítko 1 cm 1 číslo) a zapíchnout do 0 a opsat kružnici a tam, kde se protne s osou, tak právě taková čísla mají absolutní hodnotu 3 (čímž ti do mysli vplyne to, že je to vzdálenost)

thejk · 29. 01. 2011 11:32

Takže když to napíšu úplně jednoduše, tak ta definice říka: "že co je kladné, tak ponech a co je záporné, tak přehoď podle osy?" A ještě otázečka.. Vždy se ten graf klopí podle osy x, nebo y v zavíslosti na absolutní hodnotě, jestli je z hodnoty grafu, nebo z hodnoty Df, nebo se někdy přetáčí i podle jiné osy?

mikl3 · 29. 01. 2011 11:36 — Editoval mikl3 (29. 01. 2011 11:37)

↑ thejk: no zjednodušeně to říct můžem (v grafu), ale pokud chceš počítat třeba rovnice s absolutní, tak si tam ještě musíš malinko přidat (nulové body, intervaly...)
absolutní hodnota "klopí" podle osy x (klopí hodnoty, to co jsme přiřadili k x) nikdy podle osy y
jinak existuje něco, co "klopí" podle jiné osy a to je funkce inverzní (jistě znáš), ta "klopí" podle osy 1. a 3. kvadrantu
moc jsem tvoji otázku necpohopil, jestli jsem napsal to, co jsi chtěl vědět, tak ok, ale jinak se ptej

mikl3 · 29. 01. 2011 11:41

dovolím si tě odkázat na tohle a tohle a ještě tohle

thejk · 29. 01. 2011 11:42

Tak mi tu prosím chvíli vydrž, já ještě udělám jeden grafík, který nechápu.. to už je zase absolutní hodota z x-ové souřadnice a ne z hodnoty grafu..

thejk · 29. 01. 2011 11:48

Takže tohle se zase týká absolutní hodnoty z x-ové souřadnice, předchozí graf byl z hodnoty funkce.. Takže proč se zase tady z kladných čísel otáčí podle osy y na záporné a s tou tenkou čarou se nic nedělá?

mikl3 · 29. 01. 2011 11:50 — Editoval mikl3 (29. 01. 2011 11:51)

↑ thejk: já se ostudně omlouvám, ale kdybys mi mohl napsat ten předpis explicitně jako y=... (já jsem na to zvyklý a ještě nemám prozkoumaný tenhle zápis)

thejk · 29. 01. 2011 11:53 — Editoval thejk (29. 01. 2011 11:54)

No hale, jednoduše.. f(x) je hodnota funkce v bodě x.. Neboli y=nějaká funkce, která v tuto chvíli neni nijak důležitá, protože nám stačí graf.. xD

mikl3 · 29. 01. 2011 11:55 — Editoval mikl3 (29. 01. 2011 11:57)

↑ thejk: no jo, to o f(x) vím, ale právě y=je jaká funkce? :D
btw: když to zadám do wolframu, tak nic

thejk · 29. 01. 2011 11:57

Tak hale ,nemůžu ti napsat zápis znění typu: y=x^4 -6x^2, protože neznám, jak je funkce zadána, já mám jen graf.. Už mi rozumíš?

easy · 29. 01. 2011 12:05

Zdravím,

nezáleží na předpisu funkce. Pokud je funkce zadaná jako y = f(|x|) tak graf bude reflektován kolem y osy. Je to proto, že pro všechny hodnoty x, -x bude mít funkce stejnou y souřadnici.

Nejlépe se to načrtává tak, že nakreslíš graf pro x>0 a potom to jen reflektuješ kolem y osy.

thejk · 29. 01. 2011 12:07 — Editoval thejk (29. 01. 2011 12:08)

Tak proč se ta vyznačená tenká čára taky nepřetočí podle osy y? Hodnota funkce zůstane taky stejná..

easy · 29. 01. 2011 12:14 — Editoval easy (29. 01. 2011 12:20)

Protože ta tenká čára je pouze pro x<0, zbytek tenké čáry (pro x>0) je shodný pro y = f(x) a y = f(|x|). Absolutní hodnota nevyvolá žádnou změnu pro hodnoty x které jsou pozitivní. Prakticky nový graf bude pouze reflekce části pro pozitivní x. Jak jsem říkal, představ si že ta originální funkce existuje pouze pro x>0. Potom jen reflektuješ graf přes y osu.

Nejsem si jistý jestli to vysvětluju srozumitelně. Zkus si načrtnout $f(x) = x^3$ a pak $g(x) = f(|x|)$

thejk · 29. 01. 2011 12:22

Takže by to bylo nějak takhle? Jinak mi furt stejně nejde do hlavy, proč otáčim jen pro x>0.. Co to znamená pozitivní?

RUFFRIDE

nech $f(x)=x^3+2x^2-3x+9$
potom
$|f(x)|=|x^3+2x^2-3x+9|$
a
$f(|x|)=|x|^3+2|x|^2-3|x|+9$
absolutna hodnota je vzdialenost preto nemoze byt zaporna, vzdialenost bodu Y=[x,-3] od osi x (y=0) je 3

easy · 29. 01. 2011 12:40

↑ thejk:

Přesně tak. Představ si to takhle, pokud by daná funkce byla definována pouze pro kladná x, graf této funkce by byl stejný pro $f(x)$ i $f(|x|)$ . Je to z toho důvodu, že když dosadíš x do funkce, absolutní hodnota z něj udělá kladné. V našem případě ale x kladné už je takže se nebude nic měnit.

Pokud do té samé funkce dosadíš číslo záporné, absolutní hodnota z něj udělá číslo kladné a výsledná hodnota funkce pro toto záporné x bude totožná s hodnotou pro x kladné. Důvod proč otáčís kolem y osy je proto, že vzdálenost funkce od y osy bude stejná pro x kladné i záporné jelikož v obou případech dostaneš stejnou hodnotu y.

Příklad:

pro $y = x^3$ funkce bude procházet těmito body.

x: -3 -2 -1 0 1 2 3
y: -27 -8 -1 0 1 8 27

Pokud ale budeš mít funkci $y = (|x|)^3$ tak ty body budou tyto.

x: -3 -2 -1 0 1 2 3
y: 27 8 1 0 1 8 27

Jak můžeš vidět, y souřadnice je stejná pro obě $-x$ a $x$ .

thejk · 29. 01. 2011 12:48

Furt mi něco uniká.. Proč ten graf nemůže být takto?

easy · 29. 01. 2011 13:02

Protože absolutní hodnota funguje tak, že otáčí pouze negativní čísla na pozitivní. Ta originální tenká čára je schovaná pod tou tlustou pro hodnoty x která jsou kladné.

Ty se nesnažíš přikreslit tu tenkou čáru, ty z tenké čáry děláš tu tlustou. Ta tenká ja pevně daná a nemění se, mění se pouze to, jak bude vypadat nová funkce s upraveným předpisem.

Podívej se na tyto obrázky.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

thejk · 29. 01. 2011 13:10

Ježiš.. Já vím, že ta tenká je pod tou tlustou.. Objasni mi radši prosimtě, co znamená negativní a pozitivní číslo, to jsem nikdy neslyšel.. Navíc já tam nic nepřikresluji, jen mě zajímá, proč tan tenká čára s otazníkem neplatí pro absolutní hodnotu.. Zakopaný pes asi bude v těch pozitivních a negativních číslech, o kterých nevím, co znamenají..

easy · 29. 01. 2011 13:15

Pozitivním a negativním číslem myslím pouze kladné a záporné. A jinak se omlouvám, snažím se vysvětlit to i se základy.

thejk · 29. 01. 2011 13:24

No dobře. Ale tak přeci, v tomto grafu otáčím i pozitivní (kladná) čísla na negativní (záporná).. Ty tvrdíš, že se otáčejí jen negativní na pozitivní. Teď bez urážky, ale větší bordel si mi v tom udělat už snad ani nemohl xD

thejk · 29. 01. 2011 13:28

Jestli to dobře chápu, tak původní funkce je myšlena takto:

easy · 29. 01. 2011 13:32 — Editoval easy (29. 01. 2011 13:33)

A kde otáčím kladná na záporná?

EDIT: Ano.

thejk · 29. 01. 2011 13:37

To snad vidíš ne? Koukni se na původní graf a na výsledný graf tlustou čarou.. Zde jsou jasně otáčena kladná x na záporná..

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2011 11:19

Absolutní hodnota

#2 29. 01. 2011 11:22 — Editoval mikl3 (29. 01. 2011 11:29)

Re: Absolutní hodnota

#3 29. 01. 2011 11:32

Re: Absolutní hodnota

#4 29. 01. 2011 11:36 — Editoval mikl3 (29. 01. 2011 11:37)

Re: Absolutní hodnota

#5 29. 01. 2011 11:41

Re: Absolutní hodnota

#6 29. 01. 2011 11:42

Re: Absolutní hodnota

#7 29. 01. 2011 11:48

Re: Absolutní hodnota

#8 29. 01. 2011 11:50 — Editoval mikl3 (29. 01. 2011 11:51)

Re: Absolutní hodnota

#9 29. 01. 2011 11:53 — Editoval thejk (29. 01. 2011 11:54)

Re: Absolutní hodnota

#10 29. 01. 2011 11:55 — Editoval mikl3 (29. 01. 2011 11:57)

Re: Absolutní hodnota

#11 29. 01. 2011 11:57

Re: Absolutní hodnota

#12 29. 01. 2011 12:05

Re: Absolutní hodnota

#13 29. 01. 2011 12:07 — Editoval thejk (29. 01. 2011 12:08)

Re: Absolutní hodnota

#14 29. 01. 2011 12:14 — Editoval easy (29. 01. 2011 12:20)

Re: Absolutní hodnota

#15 29. 01. 2011 12:22

Re: Absolutní hodnota

#16 29. 01. 2011 12:22 — Editoval RUFFRIDE (29. 01. 2011 12:26)

Re: Absolutní hodnota

#17 29. 01. 2011 12:40

Re: Absolutní hodnota

#18 29. 01. 2011 12:48

Re: Absolutní hodnota

#19 29. 01. 2011 13:02

Re: Absolutní hodnota

#20 29. 01. 2011 13:10

Re: Absolutní hodnota

#21 29. 01. 2011 13:15

Re: Absolutní hodnota

#22 29. 01. 2011 13:24

Re: Absolutní hodnota

#23 29. 01. 2011 13:28

Re: Absolutní hodnota

#24 29. 01. 2011 13:32 — Editoval easy (29. 01. 2011 13:33)

Re: Absolutní hodnota

#25 29. 01. 2011 13:37

Re: Absolutní hodnota

Zápatí