Matematické Fórum

Sulfan · 30. 01. 2011 12:03 — Editoval Sulfan (30. 01. 2011 12:04)

Zdravím,

mám za úkol dokázat toto tvrzení $\forall n \in \mathbb{N}; 2|n^{2}\Rightarrow 2|n$ .
Můj postup je prý špatný, ale nepochopil jsem bohužel proč. Proto bych vás chtěl požádat, jestli byste mi řekli, v čem dělám chybu.

Můj postup:

Pokud $2|n^{2}$ , znamená to, že je to číslo dělitelné dvěma beze zbytku. Proto je $n^2$ určitě sudé. Aby byl součin dvou čísel sudý, musí být alespoň jeden z činitelů sudé číslo. Z toho dostáváme podmínku, že $2|n$ . Tím je dokázáno.

Správný (oficiální) postup:

Vytvoříme obměnu výroku
$\forall n \in \mathbb{N}; 2 \not{\mid} n \Rightarrow 2\not{\mid} n^{2}$
$\not{\mid}$ znamená "nedělí"

a dokážeme platnost obměny implikace. Aby dvojka nedělila n, bude n ve tvaru $n=2k+1$ . Pro $n^2$ dostáváme:
$(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$
což není dvěma dělitelné. Tím jsme dokázali platnost obměny a proto je také původní implikace pravdivá.

Děkuji za odpověď.

BakyX · 30. 01. 2011 12:07

↑ Sulfan:

Ahoj..Neupresnil si zadanie..Tvoj postup je z hľadiska ľudskej logiky správny, ale oni zrejme potrebovali postup pomocou obmeny implikácie. To by v zadaní malo byť.

Sulfan · 30. 01. 2011 12:13

V zadání je pouze dokažte (to znamená jakýmkoli způsobem a povolenou technikou - přímý, nepřímý, spor, indukce a jakýmkoliv způsobem - převedení na obměnu ...).

Jen chci vědět, jestli v případě implikace můžu to první tvrzení $2 | n^{2}$ vzít jako pravdivé a postupnými pravdivými ekvivalentními úpravami dojít opět k pravdě (jako v tomto případě) - tedy k výroku B $2|n$ .

ITLover

↑ BakyX:
V takomto pripade je to jasne, alebo by to aspon malo byt, ze ide o nepriamy dokaz uz zo zadania... Pretoze, ak je predpoklad zlozitejsi ako zaver, tak sa dokaz robi pomocou obmenenej vety. :) cize, ak chcem dokazat tvrdenie, ze ak 2 deli n na druhu, potom dva deli n, musim postupovat tak, ze vetu odbratim a znegujem (obmenena veta)...

PS: na to, ci mame robit priamy dokaz, alebo dokaz nepriamy, musí prist riesitel sam... je len dobra vola zadavatela ulohy, ci mu pomoze v zadani, alebo nie, teda, ci napise, ze ma dokaz robit obmenenou vetou alebo nie, ale to vacsinou tak nie je... :)

Sulfan · 30. 01. 2011 12:23

Díky oběma za odpověď.

Takže ten můj postup je správný (přípustný), špatný nebo nekonvenční (proč by se měl složitělší předpoklad dělat pomocí obměny) ? Nějak jsem to z vašich příspěvků nepochytil.

ITLover · 30. 01. 2011 12:30

↑ Sulfan:
Prvou otazkou, skor ako zacnes vykonavat nejaky dokaz je odpoved na otazku: Ako dokaz mozno dokazovat? Priamo, alebo nepriamo?? :) Zakladna definicia hovori, ze ak je predpoklad (prava strana celej formulky) zlozitejsi, ako zaver (lava strana formulky, za znakom implikacie) dokaz mozno vykonavat nepriamo. Ak je predpoklad jednoduhsi ako zaver, mozno dokaz vykonat priamo.
napr. : 2/n - - > 2/ n na 2 mozno vykonat priamo... pretoze predpoklad je jednoduhsi ako zaver...
ale 2/ n na 2 --> 2/n mozno vykonat len obmenou vety...

Sulfan · 30. 01. 2011 12:39

↑ ITLover: není náhodou předpoklad nalevo a závěr napravo v tom tvrzení?

ITLover · 30. 01. 2011 13:00

nie... vzdy je predpoklad prvy a zaver druhy a preto sa na zaklade toho urcuje, ako mozno dokaz riesit (dokazovat) :)

Sulfan · 30. 01. 2011 13:04 — Editoval Sulfan (30. 01. 2011 13:04)

↑ ITLover: no je to drobnost, ale připadám si jako asi kdybych dneska rano dostal palicí přes hlavu :D myslíme oba na toto:

$(vlevo)predpoklad \Rightarrow zaver (vpravo)$

ITLover · 30. 01. 2011 13:17

ano... v nasom priklade:
$\forall n \in \mathbb{N}; 2|n^{2}\Rightarrow 2|n$
je predpoklad 2/n na 2 a zaver je 2/n...
Nasiel som ti aj presnu citaciu z jednej stranky zaoberajucej sa matematikou a tym som si potvrdil aj to, ze moje tvrdenie je spravne- tu to mas:

Mnohé matematické vety sú vyjadrené vo forme implikácie: $\forall n \in \mathbb{N}; A \Rightarrow B$ , kde A je predpoklad a B je dôsledok (tiež označovaný ako záver)

Sulfan · 30. 01. 2011 13:23

↑ ITLover: ok, v tom případě je už vše jasné - v případě dokazování implikací se budu řídit (tvým) pravidlem (definicí). Nikdy předtím jsem ji neslyšel, tak teď aspoň ty důkazy budu dělat konečně správně :D. Díky za pomoc (+).

Matematické Fórum

#1 30. 01. 2011 12:03 — Editoval Sulfan (30. 01. 2011 12:04)

Důkaz implikace (dělitelnost)

#2 30. 01. 2011 12:07

Re: Důkaz implikace (dělitelnost)

#3 30. 01. 2011 12:13

Re: Důkaz implikace (dělitelnost)

#4 30. 01. 2011 12:14 — Editoval ITLover (30. 01. 2011 12:16)

Re: Důkaz implikace (dělitelnost)

#5 30. 01. 2011 12:23

Re: Důkaz implikace (dělitelnost)

#6 30. 01. 2011 12:30

Re: Důkaz implikace (dělitelnost)

#7 30. 01. 2011 12:39

Re: Důkaz implikace (dělitelnost)

#8 30. 01. 2011 13:00

Re: Důkaz implikace (dělitelnost)

#9 30. 01. 2011 13:04 — Editoval Sulfan (30. 01. 2011 13:04)

Re: Důkaz implikace (dělitelnost)

#10 30. 01. 2011 13:17

Re: Důkaz implikace (dělitelnost)

#11 30. 01. 2011 13:23

Re: Důkaz implikace (dělitelnost)

Zápatí