Matematické Fórum

rumik · 30. 01. 2011 10:29

Ahoj. Prosím pomozte. Jsem z tohodle příkladu už skoro zoufalý.
Prostor fcí je generován bází E = {e^x; x*e^x; x^2 * e^x}
Mám najít matici lineárního zobrazení A: y -> y' vzhledem k bázi E ve výchozím i cílovém prostoru
Pomocí téhle matice určit obraz funkce f: f(x) = (x-2) * e^x v zobrazení A.
A pomocí téhle matice určit také vzor funkce f: f(x) = (x-2) * e^x v zobrazení A.
A provést zkoušku přímým výpočtem.

FailED · 30. 01. 2011 10:45

↑ rumik:

Na jaké vektory se zobrazí vektory báze? Umíš určit jejich souřadnice vůči E?

rumik · 30. 01. 2011 10:48

↑ FailED:
eh... asi ne.. nejsem schopen u tohodle prikladu ani nejak normalne zacit...

FailED · 30. 01. 2011 10:56 — Editoval FailED (30. 01. 2011 11:06)

↑ rumik:

Tak A zobrazuje funkci na její derivaci, nejdřív tedy vypočítat derivace těch funkcí.

Dále, matice lineárního zobrazení se skládá ze sloupečků, ve kterých jsou souřadnice obrazů vektorů báze ze které zobrazujeme v bázi do které zobrazujeme (v tomto případě derivací). Budeš tedy muset zjistit, jaké souřadnice mají derivace vektorů B vůči B.

Například funkce (vektor) $xe^x+\pi x^2e^x$ má souřadnice $[0, 1, \pi]_{\small{B}}$ v bázi B.

rumik · 30. 01. 2011 11:26

↑ FailED:
Takze jestli jsem to spravne pochopil.
derivace funkci a jejich vektory jsou:
(e^x)' = e^x -> (0;0;0)

(x*e^x)' = e^x + x*e^x -> (0;0;1)

(x^2 * e^x)' = 2*x*e^x + x^2 * e^x -> (0;2;1)

Potom ta matice vypada:
0 1 1
0 0 2
0 0 0

Jestli to je ovsem spravne :D

FailED · 30. 01. 2011 11:28

↑ rumik:

Ty souřadnice máš blbě.

rumik · 30. 01. 2011 12:10

Další souřadnice které mi vyšli:

(0;0;1)
(0;1;1)
(0;2;1)

a matice:

1 1 1
0 1 2
0 0 0

Ale to bude asi taky blbe...

FailED · 30. 01. 2011 12:21 — Editoval FailED (30. 01. 2011 12:31)

↑ rumik:

To už vypadá trochu líp, jen to máš obráceně, báze je zadaná jako E = {e^x; x*e^x; x^2 * e^x} takže
e^x má souřadnice [1,0,0], xe^x [0,1,0] a x^2e^x [0,0,1]

takže
e^x -> [1,0,0]
e^x + x*e^x -> [1,1,0]
2*x*e^x + x^2 * e^x -> [0,2,1]

A matice zobrazení by měla vypadat takhle:

EDIT: Teda jestli ty souřadnice píšete obráceně, na funkčnosti se nic nezmění, jen je potřeba to dělat pořád stejně.

Error_404 · 30. 01. 2011 17:18

A další body otázky budou jak?

Obraz funkce je mi jasný. (x-2) * e^x = x*e^x - 2e^x tj
Fuknci vynásobím s maticí a vyjde mi

Avšak vzor funkce v matici nechápu ani teoreticky, co tím chce básník říci?

FailED · 30. 01. 2011 17:41 — Editoval FailED (30. 01. 2011 17:52)

↑ Error_404:

Takhle se matice nenásobí!

Básník chce zjistit množinu vektorů které se zobrazí na tu jeho funkci.

Matice homomorfismu je zřejmě regulární, jde tedy o isomorfismus a můžeme vypočítat matici inverzního zobrazení.

rumik · 30. 01. 2011 20:21

↑ FailED:
Nejde nahodou o to zjistit definicni obor a obor hodnot zadane funkce v zobrazeni A?
Respektive neslo by to nejak jako zjistit si vektor po derivaci funkce a ten dat potom do rovnosti s matici A?

(x-2) * e^x = x*e^x - 2e^x => (0;1;-2)

1 1 0| 0
0 1 2| 1
0 0 1|-2

Nejak mi totiz unika jak jinak to zjistit...

FailED · 30. 01. 2011 20:49 — Editoval FailED (30. 01. 2011 20:52)

↑ rumik:

Asi úplně nerozumím, proč bys chtěl zjišťovat nějaký definiční obor? Ptají se jen na obraz jednoho vektoru a vzor jednoho vektoru.

Tebou navrhovaný postup je správný, jen máš zase obráceně ty souřadnice.

Když vyřešíš soustavu , řešením bude vzor vektoru $(-2,1,0)_{\small{B}}^T$ .

Můžeš si rozmyslet, jak bys řešení dostal pomocí matice inverzního zobrazení.

symetrala

↑ FailED:
nemelo by vyjít (-3,1,0) z toho co si tady napsal? Vzdyt kdyz c=0,b=1 tak a= -2-1=-3.....?

FailED · 31. 01. 2011 00:19 — Editoval FailED (31. 01. 2011 00:19)

↑ symetrala:

Ano, to co píšeš je řešením té soustavy, tedy vzor vektoru -2e^x+xe^x.

symetrala · 31. 01. 2011 00:23

↑ FailED:
no, aproč máš tedy napsíno že řešení (-2,1,0) ?Jak tedy bude vypadat zkouška?

FailED · 31. 01. 2011 00:43 — Editoval FailED (31. 01. 2011 00:48)

↑ symetrala:

Tak konkrétně:

máme zjistit, jaký je vzor vektoru $u$ funkce $f:\, f(x) = (x-2) \cdot e^x$ . Tato funkce má v B souřadnice $[-2,1,0]_{\small{B}}$ . Vzhledem k vlastnostem lineárního zobrazení a jeho maticové reprezentace vzorem $u$ jsou všechny vektory $v$ , pro které platí $A\cdot v = u$ .

Množina vektorů souřadnic vyhovujících vektorů $v$ je tedy množina řešení rovnice .

Rovnici vyhovuje jediný vektor $(-3,1,0)^T$ - z toho plyne, že úplným obrazem vektoru $u$ je vektor se souřadnicemi $[-3,1,0]_{\small{B}}$ , kterému odpovídá funkce $f_0:\, f_0(x)=-3e^x+xe^x$ .