Matematické Fórum

SweetNelli · 26. 01. 2011 21:50

ráda bych vás poprosila ještě o výpočet poslední limity

Pavel · 26. 01. 2011 22:34 — Editoval Pavel (26. 01. 2011 22:40)

↑ SweetNelli:

Jaké metody můžeš při řešení limity použít? L'Hospitalovo pravidlo tady moc nepomůže, podaří se až po jeho třetím použití. Pomocí VŠ znalostí ji lze vypočítat na dva řádky, to ale v Tvém případě asi nepůjde.

SweetNelli · 26. 01. 2011 22:35

↑ Pavel:

bez l'Hospitalova pravidla, můžu použít jen úpravy, větu o aritmetice limit, větu o složené funkci a to je vše

Arty · 26. 01. 2011 22:38 — Editoval Arty (26. 01. 2011 22:42)

↑ SweetNelli:

Tento příklad bych nemohl hodnotit mezi středoškolskou matematiku. Není to tak těžký, ale bohužel je výpočet zdlouhavý a teď večer nemám již čas sepsat řešení. Aspoň naťuknu jak na to:
Nejdřív uprav jmenovatel na sin x (1 - cos x) / (cos x) .. Poté celý výraz vyjádři jako cos x * ( (tg (tg x) - sin (sin x)) / (sin x (1 - cos x)) ) , použij aritmetiku limit, tím vyřešíš limitu cos x , kde x -> 0 , výsledek bude 1 a pak řešíš danou limitu. Ukázal jsem ti v předešlém příkladě jak se řeší limita
(1 - cos x) / (x^2) a samozřejmě musíš znát limitu sin x / x = 1 , jde-li x->0. Uprav tedy výraz tak, aby jsi dostala tyto limity ve jmenovateli .

Dostaneš se k limitě 2 * lim x->0 ( (tg (tg x) - sin (sin x) ) / x^3). Pak je nutné udělat takový trik, že vhodně přičteš 0 tedy přičti -sin (tg x) a + sin (tg x) ať se ti zachová rovnost , dle věty o aritmetice limit dostaneš dvě limity a ty pak spočítáš. Její výpočet není složitý, ale pracný. Celý příklad bych hodnotil spíše jako zdlouhavý než obtížný.

SweetNelli · 26. 01. 2011 22:53

↑ Pavel:

jak by to prosímtě vypadalo na ty dva řádky?

SweetNelli · 27. 01. 2011 08:27

↑ Arty:

kdybys mohl určitě mi napiš celý řešení, děláš tam asi moc úprav najednou a k tý limitě se prostě nedoberu

Pavel · 27. 01. 2011 12:10 — Editoval Pavel (27. 01. 2011 12:12)

↑ SweetNelli:

Limitu lze spočítat pomocí tzv. Taylorova rozvoje jednotlivých funkcí, viz http://cs.wikipedia.org/wiki/Taylorova_%C5%99ada dole. Aby bylo všechno korektní, musel bych využívat dále tzv. Landauovy symboly, ale to zde, v sekci střední školy, uvádět nebudu. Řešení se pak opravdu zredukuje na pár řádků.

Dana1 · 27. 01. 2011 13:34

↑ SweetNelli:

Je to vyriešené tu, úloha 2.86. Tento materiál vyhľadal na nete študent.

FailED · 31. 01. 2011 10:48 — Editoval FailED (31. 01. 2011 11:13)

↑ SweetNelli:

Lze postupovat ještě takhle:

$\lim_{x\to0}\frac{\tan(\tan x)-\tan(\sin x) +\tan(\sin x)-\sin(\sin x)}{\tan x-\sin x}\quad\stackrel{\tiny{\text{VOLSF\.\.\. &\.\.\. VOAL}}}{=}\quad\tan'(0)+\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin(\sin x)(1-\cos(\sin x))}{\cos(\sin x)}}{\frac{\sin x (1-\cos x)}{\cos x}}=2$

Jen je potřeba uvědomit si, proč to můžeme udělat: tan má spojitou derivaci v 0, |sinx|>|tanx| na nějakém okolí 0, sinx, tanx <(>) 0 na nějakém levém (pravém) okolí 0, a $\lim_{x\to0}\sin x=\lim_{x\to0}\tan x=0$ .

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2011 21:50

Limita - poslední příklad k semestrální práci

#2 26. 01. 2011 22:34 — Editoval Pavel (26. 01. 2011 22:40)

Re: Limita - poslední příklad k semestrální práci

#3 26. 01. 2011 22:35

Re: Limita - poslední příklad k semestrální práci

#4 26. 01. 2011 22:38 — Editoval Arty (26. 01. 2011 22:42)

Re: Limita - poslední příklad k semestrální práci

#5 26. 01. 2011 22:53

Re: Limita - poslední příklad k semestrální práci

#6 27. 01. 2011 08:27

Re: Limita - poslední příklad k semestrální práci

#7 27. 01. 2011 12:10 — Editoval Pavel (27. 01. 2011 12:12)

Re: Limita - poslední příklad k semestrální práci

#8 27. 01. 2011 13:34

Re: Limita - poslední příklad k semestrální práci

#9 31. 01. 2011 10:48 — Editoval FailED (31. 01. 2011 11:13)

Re: Limita - poslední příklad k semestrální práci

Zápatí