Matematické Fórum

Arty · 01. 02. 2011 22:39

↑↑ teolog:

Má chyba, za kterou se omlouvám. Nepodíval jsem se pořádně na adresu, ale po designovém rozvržení stránky mi to připomělo wikipedii. Abych se přiznal, tak jsem na stránku jenom nahlédnul a nevěnoval ji větší pozornost.

Arty · 01. 02. 2011 22:41 — Editoval Arty (01. 02. 2011 22:43)

↑↑ Lerion:

Co na něm konkrétně ti není jasné? Očekával bych prosím přesně formulovanou otázku. Navíc pokud jste si neříkali výsledky známých limit je nesmyslný takový limity počítat. Jednotlivé kroky jsem nepředbíhal, naopak jsem je dělal přesně tak, aby bylo jasné, jak výraz postupně upravuji. Navíc máš k dispozici i odkaz na výpočet limity x-> 0 (1 - cos x) / (x)^2.

Jediné co jsem využil je to, že znám výsledek limity x->0 sin x / x a limity x-> 0 (1 - cos x) / (x)^2. Ostatní úpravy jsou jen hraní si se zlomky a umět používat větu o aritmetice limit.

teolog · 01. 02. 2011 22:49 — Editoval teolog (01. 02. 2011 22:49)

↑ Arty:
To se neomlouvejte, nemyslel jsem to nějak šppatně. Jen jsem tím chtěl naznačit, že autorem toho přehledu je místní profík, který to sepisoval pro potřeby primárně vysokoškoláku, takže to, co tam je, určitě není nějaký standard pro gymnázia.

Arty · 01. 02. 2011 22:50

↑ teolog:

S tím určitě souhlasím. Limity tohoto typu bych také nezařadil mezi středoškolskou matematiku.

Lerion · 01. 02. 2011 22:50

↑ Arty:
Vychází mi stále nějaké nesmysli a né výsledek roven 2ma :-/

teolog · 01. 02. 2011 22:51 — Editoval teolog (01. 02. 2011 23:00)

Ale ještě bych řekl, že ten postup by šel udělat rychleji a efektivněji:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{\sin^3 x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{\sin x\cdot(1-\cos x)}{\cos x}}{\sin^3 x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot(1-\cos x)}{\cos x}\cdot \frac{1}{sin^3 x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\cos x\cdot \sin^2 x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\cos x\cdot (1-\cos^2 x)}=$
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\cos x\cdot (1-\cos x)(1+\cos x)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\cos x\cdot (1+\cos x)}=\frac12$

EDIT: Hmm, u mne na papíře to vypadá trochu jednodušeji a hezčeji... :)

Arty · 01. 02. 2011 22:52

↑ Lerion:

Podívej se, jak jsem postupoval. Příklad je vyřešen správně. V případě napiš, jaký krok ti není jasný.

Arty · 01. 02. 2011 22:54

↑ teolog:

Souhlasím, neříkám, že je to nejefektivnější postup, ale vzhledem k tomu, že to sepisuju z "fleku" bez přípravy, napíšu hned to, co mě napadne jako první, když se na to podívám.

Lerion · 01. 02. 2011 22:57

↑ Arty:
Oba mluvíme o příkladu $\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cos2x}{x.sinx}=\infty$ ?
Já jsem se v tom úplně ztratil...ale jestli může být 1 = sinx^2+cosx^2 ... tak mi opravdu vyjde výsledek 2, ale nevím, jestli to je takto možné...

Arty · 01. 02. 2011 23:00

↑ Lerion:

Měl jsem na mysli mé řešení druhého příkladu (tg (x) - sin(x)) / x^3. Protože, jsi mi napsal, že ti něco není jasné a já nevím, jestli ti je jasný postup tvé 2. zadané limity, či není. S první limitou ti poradil ↑ :.
Ukaž nám prosím, jak jsi postupoval ty.

teolog · 01. 02. 2011 23:03

↑ Arty:
Jasně, to neberte ode mne jako kritiku, jen jsem se snažil ukázat Lerionovi jednodušší cestu, která mne napadla. I když si teď tou jednoduchostí nejsem tak jistý.

Arty · 01. 02. 2011 23:03 — Editoval Arty (01. 02. 2011 23:04)

↑ teolog:

Váš postup se mi líbí. Použil jste cestu, která vede k výsledku rychleji a hlavně jste se vyhnul limitám, které je nutné použít v mém příkladě :-). Vypadá efektivně a řešení je opravdu pěkný.

teolog · 01. 02. 2011 23:05

↑ Arty:
Díky, tak si jsme si tu oba "zalimitili"... a teď aby si z toho něco odnesl Lerion. :D

halogan · 01. 02. 2011 23:05

Pokud bychom připustili limitu (1-cosx)/x^2, tak to můžeme zaříznout ještě dříve

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{\sin^3 x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{\sin x\cdot(1-\cos x)}{\cos x}}{\sin^3 x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot(1-\cos x)}{\cos x}\cdot \frac{1}{sin^3 x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\cos x\cdot \sin^2 x}=\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = 1 \cdot \frac 12$

To jen kdyby autor chtěl.

teolog · 01. 02. 2011 23:07

↑ halogan:
My o vlku... :DD

Lerion · 01. 02. 2011 23:08

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cos2x}{x.sinx}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{cosx^2+sinx^2-cosx^2+sinx^2}{x.sinx}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2sinx^2}{x.sinx}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2sinx}{x}=2$
Nevím ale, jestli se může takhle rozložit ta 1čka...je to takhle správně?

Arty · 01. 02. 2011 23:11

↑ halogan:

Tento postup je moc krásný, navíc se zde odkazujete na limitu, kterou jsem připustil také. Opravdu pěkný nápad, teď jde o to, co si od toho odnese kolega, který se ptal na její výpočet.

halogan · 01. 02. 2011 23:12

↑ Lerion:

Jen prosím odlišovat $\sin^2 x$ a $\sin x^2$ , ale princip asi myslíte správně.

↑ Arty:

Výpočet to není krásný, je holt běžný :-) Tady jde o to, že bez tabulkových limit se v životě (třeba při nákupu v supermarketu) často neobejdeme. Když si člověk dokáže, proč ta a ta limita tolik je (pokud věříme sinx/x, tak (1-cosx)/x^2 je triviální), tak mu to později může pomoci.

Lerion · 01. 02. 2011 23:13

↑ halogan:
Aaa pardon, moje chyba...jinak to vyjde :) Děkuju moc všem! :)

Arty · 01. 02. 2011 23:17

↑ halogan:

Určitě. Je to spíš o tom, že výpočtu limit se bohužel na cvičení zabývám často (vzhledem k tomu, že je musím chtě nechtě vést se studenty). Takže jsem k výpočtu limit , derivací, integrálů a příkladům z diskrétní matematiky získal větší zálibu, když už jsem nucen počítat takové kvanta. Ono mnohdy člověk zjistí, že co mě připadá jako jasné, není jasné jiným a mnohdy není jednoduché najít příčinu, co jim není jasné. Spíše bych jen chtěl kolegovi Lerionu doporučit, že je vhodné svůj výpočet opravdu napsat hned, případně co konkrétně není jasné. Pak můžeme přejít rovnou k věci :-) .

Lerion · 01. 02. 2011 23:23

↑ Arty:
Dobře, příště se pokusím, mě jen ze začátku nebyl jasný postup...x na třetí bych na to asi nepřišel a u toho druhého nevím, na co jsem přemýšlel, ten nebyl tak těžký :) Děkuji za pomoc!

SweetNelli · 01. 02. 2011 23:24

↑ halogan:

vím, že se mě to tu netýká, ale když se dívám na tvůj postup tak nerozumím poslední úpravě, jak jsi se dostak k té limitě (1-cosx)/x^2, když ve jmenovateli jsi měl cos x a sin^2 x . Vytknul jsi 1 / cos x, tomu rozumím, ale nemělo by ti tam zůstat (1 - cos x) / (sin^2 x). Z goniometrické jedničky bych dostala sin^2 x = 1 - cos^2 x, takže bych měla 1 * 1 = 1 nebo dělám chybu

Lerion · 01. 02. 2011 23:25

↑ teolog:
Nějak nechápu úplně poslední krok před tou 1/2 $\nllim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\cos x\cdot (1+\cos x)}=\frac12$

Arty · 01. 02. 2011 23:28

↑ Lerion:
V posledním kroku dosadíš za x = 0. Předtím díky tomu, že měl vše v součinu mohl zkrátit výraz (1 - cos x).

Matematické Fórum

#26 01. 02. 2011 22:39

Re: Limita funkce

#27 01. 02. 2011 22:41 — Editoval Arty (01. 02. 2011 22:43)

Re: Limita funkce

#28 01. 02. 2011 22:49 — Editoval teolog (01. 02. 2011 22:49)

Re: Limita funkce

#29 01. 02. 2011 22:50

Re: Limita funkce

#30 01. 02. 2011 22:50

Re: Limita funkce

#31 01. 02. 2011 22:51 — Editoval teolog (01. 02. 2011 23:00)

Re: Limita funkce

#32 01. 02. 2011 22:52

Re: Limita funkce

#33 01. 02. 2011 22:54

Re: Limita funkce

#34 01. 02. 2011 22:57

Re: Limita funkce

#35 01. 02. 2011 23:00

Re: Limita funkce

#36 01. 02. 2011 23:03

Re: Limita funkce

#37 01. 02. 2011 23:03 — Editoval Arty (01. 02. 2011 23:04)

Re: Limita funkce

#38 01. 02. 2011 23:05

Re: Limita funkce

#39 01. 02. 2011 23:05

Re: Limita funkce

#40 01. 02. 2011 23:07

Re: Limita funkce

#41 01. 02. 2011 23:08

Re: Limita funkce

#42 01. 02. 2011 23:10 — Editoval teolog (01. 02. 2011 23:10) Příspěvek uživatele teolog byl skryt uživatelem teolog. Důvod: zase chybička :(

#43 01. 02. 2011 23:11

Re: Limita funkce

#44 01. 02. 2011 23:12

Re: Limita funkce

#45 01. 02. 2011 23:13

Re: Limita funkce

#46 01. 02. 2011 23:17

Re: Limita funkce

#47 01. 02. 2011 23:23

Re: Limita funkce

#48 01. 02. 2011 23:24

Re: Limita funkce

#49 01. 02. 2011 23:25

Re: Limita funkce

#50 01. 02. 2011 23:28

Re: Limita funkce

Zápatí