Matematické Fórum

micro_cz · 02. 02. 2011 10:34

Ahoj, potřeboval bych vědět, jaký je rozdíl mezi silným a slabým lokálním extrémem. Definice obou znám, ale uniká mi podstata.

1) Proč silný a proč slabý extrém? Proč silný => slabý ale obráceně to neplatí?
2) Co je to potom extrém absolutní? Proč absolutní => silný => slabý a obráceně ne?
3) Pokud hledám extrém funkcionálu a dostanu se k eulerově diferenciální rovnici obecně k-tého řádu, tak jejím vyřešením získám silný nebo slabý extrém?
4) Nedává mi smysl poznámka našeho přednášejícího: "Pokud funkcionál F zkoumáme v normě $||.||_{C^1}$ nalezneme slabý extrém, pokud zkoumáme v $||.||_{C^0}$ nalezneme silný extrém. Pokud na množině $X \subset C^1$ místo normy $||.||_{C^1}$ začneme používat normu $||.||_{C^0}$ , tak jsme normu zeslabili." Mě ty dvě věty jdou naprosto proti sobě, podle mě si odporují. Přeslechl jsem se nebo to tak opravdu je?

Děkuji za jakoukoliv radu

Rumburak

Vzdálenost dvou funkcí (resp. křivek) v $||.||_{C^1}$ je větší číslo než vzdálenost týchž funkcí v $||.||_{C^0}$ , proto je okolí o daném poloměru v $||.||_{C^1}$
menší množinou, než okolí o tomtéž poloměru v $||.||_{C^0}$ (pokud ovšem i zde předpokládáme u funkcí existenci spojitých derivací,
i když v definici normy s nimi nepočítáme).

Daná posloupnost funkcí konvergující v normě $||.||_{C^0}$ nemusí už konvergovat v normě $||.||_{C^1}$ , i když jde o funkce hladké 1. řádu.

Slabý extrém pracuje pouze s "učesanějšími" funkcemi (ty "méně učesané" se mohou vejít do okolí v $||.||_{C^0}$ , ale už se nemusejí vejít
do okolí v $||.||_{C^1}$ ), proto dává slabší výsledky.

S ušesanějšími funkcemi se ale pohodlněji pracuje, proto zavádíme slabý extrém.

Stačí takto ?

micro_cz · 02. 02. 2011 12:17

Ahaaa, myslím že jsem to pochopil....ta menší množina neni dána tím že beru z funkcí co jsou spojité jen ty co mají spojité první derivace (jak jsems i původně myslel), ale tím, že ve stejném okolí mi přísnější normou C1 projde jen část funkcí (derivace v normě mi zapříčiní...že u některých funkcí vzroste rozdíl)

Děkuji

Rumburak · 02. 02. 2011 13:29

Pouze ještě doplním, že splněníní Eulerovy rovnice je pro extrém podmínkou nutnou, nikoliv postačující,
podobně jako je tomu s podmínkou f'(x) = 0 při hledání extrémů hladké funkce jedné proměnné.

Matematické Fórum

#1 02. 02. 2011 10:34

Variační počet silný vs slabý extrém

#2 02. 02. 2011 11:33 — Editoval Rumburak (02. 02. 2011 11:42)

Re: Variační počet silný vs slabý extrém

#3 02. 02. 2011 12:17

Re: Variační počet silný vs slabý extrém

#4 02. 02. 2011 13:29

Re: Variační počet silný vs slabý extrém

Zápatí