Matematické Fórum

hessyk · 14. 01. 2011 22:40

ahoj mam vysetrit konvergenci rady
suma n od 1 do nekonecna n*(1-cos1/n)

zkousel jsem u limity pouzivat vzorce pro cosinus ptz 1/nekonecno je nula a stejne po rozsireni to k nicemu nevedlo...prosim tedy o pomoc.
diky

Olin · 14. 01. 2011 22:59

Doporučuji využít základní limitu

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac 12$ .

Tím zjistíme, jak se chová výraz $1 - \cos \frac 1n$ "v nekonečnu", zbytek dodělá limitní srovnávací kritérium.

hessyk · 14. 01. 2011 23:47

jo takze vyjde limita n*x na druhou coz je nekonecno
a srovnat to mam s cim? s n?

Olin · 16. 01. 2011 10:38 — Editoval Olin (16. 01. 2011 10:39)

No ne. Jelikož je $\lim_{n \to \infty} $ 1 - \cos \frac 1n $ = 0$ , rádi bychom asi našli takové číslo $\alpha$ , že by platilo $$\lim_{n \to \infty}\frac{1 - \cos \frac 1n}{\frac{1}{n^\alpha}}$ \in (0,\, \infty)$ , protože pak bude (dle limitního srovnávacího kritéria) zadaná řada konvergovat právě tehdy, když bude konvergovat řada $\textstyle \sum n^{1 - \alpha}$ . Limita $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac 12$ dává nápovědu, kolik asi tak to $\alpha$ bude.