Matematické Fórum

nelej · 05. 02. 2011 18:33

prosím, prosím jakým způsobem vyřeším???

jarrro · 05. 02. 2011 18:33

je to len zložito napísaná nulová postupnosť

nelej · 06. 02. 2011 10:19

↑ jarrro:

Jak poznám nulovou posloupnost??

Můj pohled na ten příklad je:

třin na dvě nekončna mínus jedna je tři na nekončno, což považuju za nekončno

logaritmus jedničky je nula

takže mám nekončno krát nula a to přeci nevím kolik je????

claudia

↑ nelej:

Ano, protože nekonečno krát nula je nedefinovaný výraz, musíš si poradit jinak. Pozor, že z toho, že si limitu aritmetikou převedeš na limitu neexistující, ještě neznamená, že neexistuje původní limita. Jak příklad si představ konstantní posloupnost f(x)=1. Ta má limitu 1. Ale mohla bych si ji též napsat jako f(x)=x/x. Měla by stejné členy a pořád limitu jedna. Ale také bych si to mohla převést na součin posloupností x a 1/x. Limita jedné je nekonečno, limita druhé je nula, součin limit není definován, přesto limita součinu definována je.

Zkus se podívat detailně na větu o aritmetice limit.

V tomto případě se dá limita počítat, jak naznačuje jarro:

Víme, že $\forall n\in N: \left|\cos n\pi\right| = 1$

Proto $\lim_{n\rightarrow\infty} 3^{2n-1}\cdot log\left|\cos n\pi\right| = \lim_{n\rightarrow\infty} 3^{2n-1}\cdot log 1 = \lim_{n\rightarrow\infty} 3^{2n-1}\cdot 0 = \lim_{n\rightarrow\infty} 0 = 0$

Doporučuji též k povšimnutí rozdíl, zda ve výrazu násobíš členem, který se limitně blíží nule (třeba použít aritmetiku limit), nebo členem, který přímo nulový je (na takový případ věta o aritmetice limit není potřeba

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

).

nelej · 06. 02. 2011 10:57

takže když mám nekonečno krát čistá nula - výsledek je nula???
a mám li nekonečno krát děsně malý číslo, co se blíží k nule - nemůžu definovat?????

claudia

↑ nelej:
To je trochu nepřesně řečeno. Spíše si uvědom, že během výše ukázaných úprav tou nulou násobíš konečné číslo, byť libovolně veliké. To není totéž jako nekonečno. Kdybys měl jen člen, který není nulový, ale nule se pouze blíží, tak jím takto "uvnitř limity" násobit nemůžeš.

Pavel Brožek · 06. 02. 2011 11:59

↑ nelej:

Aritmetiku limit se do toho pořád snažíš cpát ty :-). Tady vůbec není potřeba. Členy posloupnosti jsou nulové, protože pro každé přirozené n platí:

$3^{2n-1}\cdot \ln\left|\cos n\pi\right| =3^{2n-1}\cdot \ln 1 = 3^{2n-1}\cdot 0 = 0$

nelej · 06. 02. 2011 12:09

↑ claudia:↑ claudia:

už je to jasnější

děkuju moc

a co výraz kde limita neexistuje

třeba lim 10x* sin(x), kde x jde do nekonečna

lim sin(x jde do nekonečna) nexestuje

ale lim 10*x je nekončno

výsledná limita je nekončno nebo neexistuje ???

taky to jde přepsat [(10x^2) * sin(x)] / x

sin(x)/x=1 a deset krád x na druhou se blíží k nekončnu, takže výsledná limita je nekončno????

claudia · 06. 02. 2011 12:13

↑ nelej:

$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{sin x}{x} = 0 \neq 1$

může se plést s

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin x}{x} = 1$

nelej · 06. 02. 2011 12:26

↑ claudia:

Spíše si uvědom, že během výše ukázaných úprav tou nulou násobíš konečné číslo, byť libovolně veliké

není mi jasný jak tři na nekončno může být končné číslo (mám za to že konečné číslo se myslí třeba milliarda nebo třeba pět ),

claudia

↑ nelej:
Nekonečno konečné není :-) Ale $3^{2n-1}$ je konečné pro všechna přirozená n. Zkus si úplně odmyslet tu limitu a pouze upravuj výraz $3^{2n-1}\cdot log\left|\cos n\pi\right|$ za předpokladu, že n je libovolné přirozené. Srozumitelněji než já to píše BrozekP výše.

Obecně, máš-li problém ten rozdíl intuitivně cítit (s trochou praxe se to jistě spraví), můžeš se pevně držet formalit a každý krok svých úvah se snažit podložit dokázanými větami či základními axiomy.

Pavel Brožek

↑ nelej:

Ale tam není tři na nekonečno. Je tam 3 na 2n-1. Existuje snad nějaké přirozené n, pro které by bylo 2n-1 rovno nekonečnu? Ne.

Zvýrazňuj prosím ve svých příspěvcích, co je citace. Buď pomocí [ quote]citovaný text[ /quote] (bez mezer v závorkách) nebo alespoň pomocí znaku > na začátku každého citovaného řádku.

↑ claudia:

Omlouvám se, že se pletu, vím, že to není třeba a ty si s nelej dokážeš poradit sama, ale nemůžu si pomoct :-).

claudia · 06. 02. 2011 12:37

↑ BrozekP:
Já jsem ráda, čím více různých vysvětlení, tím větší šance na pochopení. A taky mě má kdo opravit, až si začnu vymýšlet hlouposti.

nelej · 06. 02. 2011 12:39

↑ claudia:
$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin x}{x} = 1$ $\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{sin x}{x} = 0 \neq 1$

díky
a jak to teda je mámli

neex. limita + vlastní limita
neex. limita + nevlastní limita

neex. limita * vlastní limita
neex. limita * nevlastní limita

taky se mi zobrazují příspěvky, až když napíšu něco novího

třeba příspěvek od administrátora v 11:59 se mi zobrazil až po té co jsem zareagoval na tebe v 12:09
to samý jak jsi mě upozornila na chybu ve 12:13 se mi zobrazilo až po mém dalším příspěvku v 12:26
nevíš jak to udělat aby se mi příspěvky ostatních zobrazovali hnedle co je tam vloží????

Pavel Brožek · 06. 02. 2011 12:42

↑ nelej:

Musíš aktualizovat stránku (klávesa F5 by měla fungovat), jinak se k tobě ze serveru nedostane informace o novém příspěvku.

halogan · 06. 02. 2011 12:44

↑ nelej:

Takto obecne to urcit nejde. Neni pravidlo pro pocitani s vyrazy, ktere nemaji limitu. Proste zalezi na pripadu.

Veta, ktera pomuze, je o omezene a nulove funkci (resp. funkci s nulovou limitou).

claudia

↑ nelej:
Máš-li neexistující limitu plus/krát cokoli, pak jde o nedefinovaný výraz. (Ale to možná není to, na co ses chtěl zeptat. Když si lépe rozmyslíš otázku, třeba bude jasnější i odpověď.)

EDIT: Doporučuji k rozmyšlení (nad knihou), jaký je zásadní rozdíl mezi limitou součtu a součtem limit, resp. limitou součinu a součinem limit.

nelej · 06. 02. 2011 12:57

↑ claudia:

lim (x jde do nekonečna) x + sin(x)=??

lim (x jde do nekonečna) x * sin(x)=??

halogan · 06. 02. 2011 13:01

↑ nelej:

1)
$\lim_{x \to \infty} $x + \sin x$ = + \infty$ ,

protože ten sinus tam už nemá moc vliv pro velká x, že? Obecně nevlastní limita je definovaná tak, že pro libovolně velké K vždy najdu epsilon takové, že $\forall x \in P(c, \epsilon): f(x) > K$ , což tady platí.

2)
$\lim_{x \to \infty} x \sin x$ neexistuje. Třeba přes větu o vybrané posloupnosti. (případně pouhou úvahou, pokud se po vás nechce nějaký rigoróznější argument)

claudia · 06. 02. 2011 13:13

↑ halogan:↑ nelej:

Zároveň je to další pěkný příklad toho rozdílu (mezi limitou součtu a součtem limit):

$\lim_{x \to \infty} \left( x + \sin x \right) = + \infty$

zatímco

$\left(\lim_{x \to \infty} x \right) + \left(\lim_{x \to \infty} \sin x \right)$ není definována.

Opět tedy z neexistence součtu limity nevyplývá neexistence limity součtu.

nelej · 06. 02. 2011 13:20

↑ claudia:

vždycky jsem byl přesvědčen že

$\lim_{x \to \infty} \left( x + \sin x \right) = + \infty$ = $\left(\lim_{x \to \infty} x \right) + \left(\lim_{x \to \infty} \sin x \right)$

claudia

↑ nelej:

A to přesně není pravda (a to přesně se snažím od prvního příspěvku vysvětlit).

Podívej se, jak přesně zní věta o aritmetice limit (např. věta 1.4.10 zde: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/d … a-pred.pdf). Jejím předpokladem je, že ty dvě limity na pravé straně, tedy $\lim_{x \to \infty} x$ a $\lim_{x \to \infty} \sin x$ , existují. Pokud třeba jen jedna z nich neexistuje, zde neexistuje $\lim_{x \to \infty} \sin x$ , pak tu větu nelze použít a rovnost odnikud nevyplývá.

halogan · 06. 02. 2011 13:48

↑ claudia:

Ještě doplním, že nejen existence je vyžadována, ale také musí součet dávat smysl.

nelej · 06. 02. 2011 14:13

sem dost zmatenej, jaké úpravy mohu dělat a jaké ne

v písemce bude zadáno:
Vyšetřete limitu posloupnosti (jednostrané i oboustranné)

lim (x jde do nekonečna) (x+sin(x))

mám napsat, že je to nekončno???

nebo to rozepsat
(lim (x jde do nekonečna) x ) + (lim (x jde do nekonečna) sin(x)) = nedef.

Matematické Fórum

#1 05. 02. 2011 18:33

limita posloupnosti

#2 05. 02. 2011 18:33

Re: limita posloupnosti

#3 06. 02. 2011 10:19

Re: limita posloupnosti

#4 06. 02. 2011 10:34 — Editoval claudia (06. 02. 2011 12:08)

Re: limita posloupnosti

#5 06. 02. 2011 10:57

Re: limita posloupnosti

#6 06. 02. 2011 11:14 — Editoval claudia (06. 02. 2011 11:15)

Re: limita posloupnosti

#7 06. 02. 2011 11:55 Příspěvek uživatele nelej byl skryt uživatelem nelej.

#8 06. 02. 2011 11:59

Re: limita posloupnosti

#9 06. 02. 2011 12:09

Re: limita posloupnosti

#10 06. 02. 2011 12:13

Re: limita posloupnosti

#11 06. 02. 2011 12:26

Re: limita posloupnosti

#12 06. 02. 2011 12:31 — Editoval claudia (06. 02. 2011 12:35)

Re: limita posloupnosti

#13 06. 02. 2011 12:32 — Editoval BrozekP (06. 02. 2011 12:34)

Re: limita posloupnosti

#14 06. 02. 2011 12:37

Re: limita posloupnosti

#15 06. 02. 2011 12:39

Re: limita posloupnosti

#16 06. 02. 2011 12:42

Re: limita posloupnosti

#17 06. 02. 2011 12:44

Re: limita posloupnosti

#18 06. 02. 2011 12:46 — Editoval claudia (06. 02. 2011 12:48)

Re: limita posloupnosti

#19 06. 02. 2011 12:57

Re: limita posloupnosti

#20 06. 02. 2011 13:01

Re: limita posloupnosti

#21 06. 02. 2011 13:13

Re: limita posloupnosti

#22 06. 02. 2011 13:20

Re: limita posloupnosti

#23 06. 02. 2011 13:35 — Editoval claudia (06. 02. 2011 13:35)

Re: limita posloupnosti

#24 06. 02. 2011 13:48

Re: limita posloupnosti

#25 06. 02. 2011 14:13

Re: limita posloupnosti

Zápatí