Matematické Fórum

Myslím, že by byla opravdu zajímavé dívat se, jak se lunární modul s raketoplánem připojují v rychlosti 500 km/h. Spíš bych řekl, že raketoplán a lunární modul změní svou rychlost tak, aby se jejich rychlosti téměř rovnaly a pak se v klidu připojí. S dalšími údaji se ale nedá taková rychlost vypočítat :-)

Pokud bychom opravdu uvažovali, že se spojují v tak velké rychlosti, pak při srážce platí zákon zachování energie. Kinetická energie se nezachovává, část se spotřebuje na deformaci. Zachovávala by se pouze při dokonale pružné srážce, což tento případ evidentně není – mají se spojit.

↑ koudis:

Předpokládám, že se na situaci díváme z inerciální vztažné soustavy (což je nejjednodušší), nepoužívejme prosím pojem setrvačná síla, který se vztahuje ke zrychleným soustavám. Dívat se na tuto situaci z pohledu raketoplánu nebo modulu je zde pouze zesložitění situace.

Pokud při srážce a spojení nic neodletí mimo, musí platit zákon zachování hybnosti tak, jak jsi ho napsal. Pak platí zákon zachování energie. Energie ale může být uložena v různých formách. Ze zákona zachování hybnosti jasně plyne, že celková kinetická energie se zmenší, zbytek energie se musel přeměnit na jinou formu. Je jedno, jestli to bude deformační, tepelná, elektromagnetická… Ale nějaká to být musí, neexistuje „spojení bez ztrát“, kde by energie zmizela. Vždy se pouze přemění. Je pak jiná otázka, zda tu přeměněnou energii ještě dokážeme nějak využít (viz brždění elektromobilů).

Edit: Dá se jednoduše ukázat, že pokud srážíme dvě tělesa o hmotnostech a a rychlostech a tak, že se po srážce spojí, dostaneme



kde je celková kinetická energie před srážkou a po srážce. Vidíme tedy, že se kinetická energie při takové srážce vždy zmenšuje.

↑ koudis:

Představme si jednodušší případ. Dva magnety letící proti sobě severními póly. První má rychlost v, druhý -v. V určité vzdálenosti se vlivem magnetismu zastaví. Předpokládejme, že magnety mají jakýsi záchytný systém, který funguje tak, že když se magnety zastaví, tak se vzájemně zachytí, aby se nezačaly opět vzdalovat.

Můžeš prosím formulovat otázku v tomto jednodušším případě, který je však v principu stejný se spojováním raketoplánu a modulu?

↑ koudis:

Zajímavé je, že ti vyšel čas bezrozměrný :-). Celý výpočet je pochybný, později se na to podívám.

↑ koudis:

Proč se zmenší – protože na každé těleso působí při srážce síla proti směru jeho pohybu. Nevím, jaké jiné zdůvodnění bys chtěl.

Ten výpočet tedy rozebírat nebudu, když sám uznáváš, že je špatně.

↑ BrozekP:
neinercialni soustavu ..tedy se zrychlením, převedeme na inerciální tak, že zavedeme setrvačbou sílu(ale to jste už napsal sám) --: v této soustavě nevznikla, pouze se v ní projevují její účinky. Spíše bych řekl, že je to o úhlu pohledu . Inerciální soustava, ta je taky celkem relativní pojem, záleží jak se na danou soustavu díváte a jak s ním pracujete (na tom se oba shodnem :D)...ale jinak máte pravdu, to moje tvrzení nahoře, plácnuté jen tak do éteru, je nepřesné ....

↑ BrozekP:
jasne,tykat si můžeme. Normalne taky tykam, Jsem poslední dobou nějaký zblblý  :)

Co je na pojmu inerciální soustavy relativního? Nechápu.

Záleží na pozorovateli, kde se přesně nachází ...  například pozorovatel který letí v  se zrychlením a, bude soustavu  (třeba raketu :D) ktrá letí v2 a se zrychlením a(oba letí stejným směrem) vnímat jako inerciální. Naopak pozorovatel, který bude mít a = 0,ji bude vnímat jako neinerciální soistavu.
Nebo stačí když danou soustavu budeme vztahovat k nějaké planetě. Na jedné (třeba jupiter)bude inerciální, na druhé, třeba na Marsu bude neinerciální.
Nebo třeba jenom let ve vesmíru, kde není žádný pevný bod, tam se nedá jednoznačně určit co je inerciální, co není inerciální, ale záleží pouye na pozorovateli kde ja a jak se na celí problém "dívá" ....
to jsem myslel tou realtivitou ...

Zdravím do diskuse.

Všimám si této zajímavé výměny názorů o tom, jaké jsou pohledy na inerciální a neinerciální soustavy. Zkusím přihodit pár myšlenek. (po zpětném přečetení si uvědomuju, že je to docela dlouhé; je to takový soubor vysvětlení, jak to v těch IS a neIS vlastně funguje, třeba to bude někomu užitečné)

Tak předně co si představit pod soustavou ať už je inerciální nebo ne. Je dobré si pod tím představit systém prostorových souřadnic (typicky tři), které mají počátek. Počátek souřadnic lze sjednotit s nějakou reálnou částicí ve vesmíru (ona tam být ta částice ve skutečnosti být nemusí, jen si přejímáme její vlastnosti že je "někde", pohybuje se "nějak rychle" a má "nějakou orientaci"). Tyto vlastosti počátku souřadnic (poloha, rychlost, orientace) se mohou měnit s časem. Nemá smysl mluvit o tom, že tyto tři parametry mají absolutní hodnotu vůči nějakému nad-systému. Vždy má smysl porovnávat dva systémy. U nich lze jasně říci, že jsou počátky nějak daleko od sebe, že se vzdalují nějakou rychlostí a že nějak mění orientaci. Počátek jedněch souřadnic lze totiž popsat souřadnicemi systému druhých souřadnic.

Inerciální systémy (dále IS) jsou speciální případ takovýchto systémů. Je nepřesné tvrdit, že počátky souřadnic se u IS pohybují rovnoměrně přímočaře a nerotují. Nepřesné je to tehdy, kdy uvažujeme silové pole kolem (typicky gravitační). Pak vůbec nemá smysl mluvit o IS, ale pouze o takzvaných lokálních IS, které znamenají to, že jejich počátek je pevně spjat s volnou částicí (takovou, která padá volným pádem). V principu může lokální IS libovolně rotovat. U něj je to jedno.

Když neuvažujeme silové pole, můžeme už zavést IS klasicky (ten je silnější než pouze lokální). Zde neplatí jen to, že je pouze počátek spjat s volnou částicí, ale navíc se ještě všechny volné částice v tomto systému pohybují rovnoměrně přímočaře. IS pak mají vlastnost, že se jejich počátky vůči sobě pohybují konstantní rychlostí. Toto trzení je pak schopno identifikovat IS od neinerciálních za předpokladu, že už známe alespoň jeden IS. O jeho existenci víme tak, že si můžeme dovolit tvrdit, že si dokážeme zavést volné částice - což jak víme, jde.

Než se přesunu k diskutovanému problému, tak ještě vyjasním dva pojmy.

1) Volná částice. To je taková, na kterou působí pouze taková síla, kterou jsem si označil jako silové pole.
2) Silové pole. Tímto pojmem nemám na mysli každou sílu, která působí na částice. Je to vlastně moje volba. Mohu do těchto silových polí zahrnutou (ale nemusím) libovolnou sílu. Pokud do něj nějakou sílu zahrnu, tak (jak jsem již zmiňoval) přestává mít smysl inerciální systém, ale můžeme zavádět pouze lokální inerciální systémy. V našem případě není dobré zavádět silová pole.

Nyní k problému. Mám raketu a modul. Představím si je v těžišťové soustavě. Nyní budu zkoumat, jestli je inerciální nebo není. Pokud na sebe modul s raketou budou působit nějakou magnetickou silou, tak pro tuto sílu jistě bude platit zákon akce a reakce. Pak tedy určitě bude platit, že pokud je těžiště rakety a modulu v IS, pak bude v IS i po zapnutí sil. V této soustavě si můžeme všimnout, že raketa i modul se k sobě přibližují jistou rychlostí, která postupně klesla na nulu. Evidentně klesla jejich kinetická energie. Tuto energii vykonaly magnetické síly. Žádné setrvačné (ty má smysl zavádět pouze jakmile se objevíme v neinerciálním systému - jinde ne). Všimněme si, že systém spojený s raketou nebo modulem není IS - magnetické síly jsem nezahrnul do naší definice silového pole a ztožníme-li volnou částici s modulem (na volnou částici pro nás magnetické pole nepůsobí, protože na ni mohou působit pouze silová pole), tak modul se nebude vůči této částici pohybovat rovnoměrně přímočaře - bude zrychlovat. Přeuneme-li se tedy do modulu, nebude se jednat o IS (volné částice se totiž nepohybují rovnoměrně) a v této soustavě je třeba zavést setrvačnou sílu. Ta má velikost (a opačný směr) odpovídající všem silám které působí na modul a nejsou charakterizovány jako silové pole. Setrvačné síla v neinerciální soustavě spojená s modulem tedy odpovídá magnetické s opačnou orientací.

U změny kinetické energie je potíž, že se nejedná o "pravou skalární veličinu". Tedy že má různé hodnoty pro různé soustavy souřadnic. Stejně tak vykonaná mechanická práce. Nicméně se dá říci, že v IS je součet dT + W (tedy změna kinetické energie plus práce vykonaná sílami) skalár, i když jednotlivě dT,W skaláry nejsou. Zákon zachování mechanické energie (dT + W = 0) platí ve všech systémech, pokud platí alespoň v jednom. Toto tvrzení lze provádět jen a pouze u celkové změny energie dT + W. Možná se hodí připomenout, že W je práce vykonaná všemi silami, které nejsou chrakterizovány jako silové pole (při existenci silových polí ani nemá smysl zavádět IS).

U rakety a modulu se z pohledu těžišťové soustavy celková dT + W zachovává (pro ten případ, že je necháme zbrzdit magnetickým polem). Veškerá kinetická enerige se přesune na mechanickou práci. Pro pozorovatele, který se vůči těžišti pohybuje rovnoměrně přímočaře (žádný jiný pozorovatel nelze charakterizovat jako IS) bude mít dT pro raketu i modul jiné hodnoty, stejně tak W bude nabývat různých hodnot. Na čem se ale pozorovatelé ve všech IS shodnou je, že součet dT + W.

Platnost zákona zachování mechanické energie dT + W lze zobecnit i do neinerciálních systémů, pokud k práci přidáme působení setrvačných sil, které danému neinerciálnímu systému odpovídají. V soustavě spojené s modulem je tato síla rovná magnetické síle (až na znaménko). Na raketu tedy z pohledu modulu působí jednak setrvačná síla a jednak magnetická síla. Magnetická síla působící na raketu je opačná k té na modul, tedy má stejné znaménko jako setrvačná síla v neinerciálním systému spojeném s modulem. Poku magnetická síla působící na raketu má hodnotu F, pak je výledná (setrvačná + magnetická) působící na raketu z pohledu modelu rovna 2F. Stejně tak raketa urazí jinou dráhu za jednotku času (delší). Práce vykonaná silami W tedy bude větší. Celková dT + W ale bude stále stejná - nulová. O tom, že zákon zachováení energie (dt + W = 0) platí i po té, co se přesuneme do jiných (klidně neinerciálních) systémů se můžeme přesvědčit následujácím výpočtem. Čárkou značím veličiny vztažené k neinerciálnímu systému a F_s je setrvačná síla, která v něm působí.











Obě stran rovnice mají být rovny nule a zároveň mají platit pro libovolné hodnoty v a v'. Tedy platí



Což je Newtonův zákon síly pro IS. Stejně tak platí



Je tato rovnost pravda? To plyne z předchozího (Newtonův zákon síly pro IS), pokud platí že



Což víme, že pro zrychlení při přechodu do neinerciální soustavy, kde působí setrvačná síla F_s, opravdu platí.