Matematické Fórum

Nazghull · 18. 05. 2008 15:41

Prosim o radu jeste s timto prikladem:

Do elipsy o poloosách a, b vepistte obdélník nejvetsiho obsahu

dekuji

robert.marik

http://www.google.cz/search?q=do+elipsy … =firefox-a

prvni odkaz

Slabsí matematik

ahoj,
z tohoto odkazu si mam vzit to, ze
misto jejich zadani 4x^2+9y^2 = 36 se ma pouzit obecne (x/a)^2 +(x/b)^2 = 1 ? a za (x/a) a (x/b) by se melo dosadit v1 a v2? diky

Nazghull · 19. 05. 2008 19:35

Ahoj, je to prosim tak jak pise kolega - viz jeho prispevek? dekuji moc

robert.marik

v jejich zápise (v_1/a)^2 +(v_2/b)^2 = 1

anebo jinak (bez odmocnin)

1. Obecny bod na elipse: [x,y]

2. Plati x^2/a^2+y^2/b^2=1 tj. y^2=b^2( 1- x^2/a^2 )

3. Obsah je S=4*x*y

4. S má maximum tam, kde má maximum i S^2=16*x^2*y^2=16*x^2*b^2(1-x^2/a^2)

5. Hledám maximum funkce $f(x)=16 x^2 b^2 \left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)$

6. derivace atd ..... anebo porovnam s parabolou $u \left(1-\frac{u}{a^2}\right)$ , maximum je pro $x=\frac{a}{\sqrt 2}$

7. odpovidajici y se dopocita z 2.

8. že je to maximum je jasné z povahy úlohy, už nic dál neověřuji

robert.marik

Druha metoda (asi lehci,a le vychazi z parametricke rovnice elipsy)

1. paramaeticke rovnice elipsy: $x=a \cos(\varphi)$ , $y=b \sin(\varphi)$ , budu brat v uvahu vrchol obdelnika v prvnim kvadrantu, tj $1\leq\varphi\leq\fra{\pi}2$

2. Obsah obdelnika $S=4xy=4ab\sin \varphi \cos\varphi=2ab\sin(2\varphi)$

3. najdu extrém funkce $\sin(2\varphi)$ na intervalu $1\leq\varphi\leq\fra{\pi}2$ (Pomocí obrázku (modra tucna funkce) nebo pres derivaci $2\cos(2 \varphi)$ ) ten extrem je pro $\varphi=\frac\pi 4$

4. ze stejneho duvodu jako predtim nemusim dokazovat ze to je maximum a pisu odpoved, ze optimalni obdelnik je ten, jehoz jednim vrcholem je bod
$[\frac{a}{\sqrt 2}, \frac b{\sqrt 2}]$ , protoze $\cos(\frac\pi 4)=\sin(\frac\pi 4)=\frac 1{\sqrt 2}$