Matematické Fórum

Moncik · 08. 02. 2011 00:54

Prosím Vás, můžete mi někdo poradit jakým způsobem mám řešit tento příklad?

teolog · 08. 02. 2011 00:56 — Editoval teolog (08. 02. 2011 00:59)

↑ Moncik:

Vedle matice si napište jednotkovou matici a berte to jako jednu celou matici (v prvním případě dva řádky, čtyři sloupce) a pomocí elemntárních úprav ji upravujte tak dlouho, dokud v té levé části nebudete mít jednotkovou matici. Potom ta pravá část je inverzí maticí k té původní.

$\begin{pmatrix} 2 & -c & 1 & 0 \\ c & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\sim \dots \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & a & b \\ 0 & 1 & c & d \end{pmatrix}$

Moncik · 08. 02. 2011 01:00

↑ teolog:
Najít invezní matici umím, ale když je tam proměnná, tak nevím jak na to.

teolog · 08. 02. 2011 01:03

↑ Moncik:
Tak v tom případě to je jednoduché, udělejte to, jak umíte.
Akorát musíte počítat místo normálního čísla s konstantou c. Např. přičíst druhý řádek k prvnímu bude mít za následek 2+c, případně vynásobte řádek c a přičtěte k dalšímu atd. (to jsem napsal obecné kroky, ne konkrétní pro tento přklad).

Moncik · 08. 02. 2011 01:26

↑ teolog:

Takže chápu to dobře když jsem začala takto? Protože tak jsem sice začala, ale zároveň i skončila, protože nevím jak dál.

perdy · 08. 02. 2011 06:46 — Editoval perdy (08. 02. 2011 06:52)

No vidíš, ako pekne ti to ide. Teraz stačí pokračovať ďalej, zbaviť sa $-c$ v prvom riadku a druhom stĺpci. Možno ťa zmiatol ten odpudivý výraz $\frac{c^2+6}{2}$ . Tak si ho označ nejakým iným písmenom (napríklad $w$ ). Dokážeš teraz pokračovať vo výpočte inverznej matice ?

Teolog: dúfam, že som svojím vstupom príliš nenarušil váš pedagogický postup.

teolog · 08. 02. 2011 09:10

↑ perdy:
Vůbec ne. Nejsem někdo, kdo má patent na rozum.
Naopak se mi líbí myšlenka nahrazení složitějšího výrazu něčím jiným (třeba w). To by mne asi nenapadlo, já bych se tam mořil s těmi zlomky uvnitř. Takže díky za pěkný a užitečný nápad.

↑ Moncik:
Postup je v pořádku, jen bych možná začal vydělením prvního řádku dvojkou. I když je to vlastně asi fuk. Můžete to vyděli v dalších krocích.

claudia

$\begin{pmatrix} 2 & -c & 1 & 0 \nl c & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 2 & -c & 1 & 0 \nl 0 & \frac{6 +c^2}{2} & \frac{-c}{2} & 1 \end{pmatrix}$

Teď bychom chtěli na místo toho $\frac{6 +c^2}{2}$ dostat jedničku (a tím bychom už měli ten druhý řádek "z krku"). Obecně platí, že $a\cdot a^-1 = 1$ a to nám také dává návod, čím násobit. Hledáme $$\frac{6 +c^2}{2}$^{-1} = \frac{2}{6 +c^2}$ . Je také třeba se zamyslet, jestli ten výraz $\frac{6 +c^2}{2}$ nikdy není nulový, jinak by k němu inverzní prvek neexistoval.

A použijeme:

$\begin{pmatrix} 2 & -c & 1 & 0 \nl 0 & \frac{6 +c^2}{2}\cdot\frac{2}{6 +c^2} & \frac{-c}{2}\cdot\frac{2}{6 +c^2} & \frac{2}{6 +c^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -c & 1 & 0 \nl 0 & 1 & \frac{-c}{6 +c^2} & \frac{2}{6 +c^2} \end{pmatrix}$

Teď k prvnímu řádku přičteme c-násobek druhého, aby se nám druhý člen vynuloval:

$\begin{pmatrix} 2 & -c & 1 & 0 \nl 0 & 1 & \frac{-c}{6 +c^2} & \frac{2}{6 +c^2} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & $-c +c$ & $1 + c\cdot\frac{-c}{6 +c^2}$ & $0 + c\cdot\frac{2}{6 +c^2}$ \nl 0 & 1 & \frac{-c}{6 +c^2} & \frac{2}{6 +c^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & \frac{6}{6 +c^2} & \frac{2c}{6 +c^2} \nl 0 & 1 & \frac{-c}{6 +c^2} & \frac{2}{6 +c^2} \end{pmatrix}$

A první řádek vynásobíme 2^-1, abychom dostali jedničku, kde potřebujeme (Je vidět, že ta úprava "krát a^-1" se používá i u "normálních" čísel, jen by tomu člověk obyčejně řekl "vydělím dvěma").

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & \frac{6}{6 +c^2} & \frac{2c}{6 +c^2} \nl 0 & 1 & \frac{-c}{6 +c^2} & \frac{2}{6 +c^2} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{3}{6 +c^2} & \frac{c}{6 +c^2} \nl 0 & 1 & \frac{-c}{6 +c^2} & \frac{2}{6 +c^2} \end{pmatrix}$

Takže hledaná inverzní matice je:

$\begin{pmatrix} \frac{3}{6 +c^2} & \frac{c}{6 +c^2} \nl \frac{-c}{6 +c^2} & \frac{2}{6 +c^2} \end{pmatrix} = \frac{1}{6 + c^2}\cdot \begin{pmatrix} 3 & c \nl -c & 2 \end{pmatrix}$

Mimochodem, docela snadno (a podobně) se dá spočítat i obecná $\begin{pmatrix} a & b \nl c & d \end{pmatrix}^{-1}$ . Můžeš si to zkusit a pak už pro matice 2×2 vždy jen dosadit do vzorce :-)

Olin · 08. 02. 2011 09:36

U matice 3x3 bych již volil nějakou přímější metodu, např. pomocí algebraických doplňků, jak je popsáno tady.

perdy · 08. 02. 2011 11:49

Ešte by som dodal, že podmienka na invertovateľnosť matice A je $\det A \ne 0$ . V našom prípade skutočne vyjde $6+c^2\ne0$ .
---------------------------------------
Je užitočné si raz a pre vždy uvedomiť, ako rôznymi spôsobmi charakterizovať invertovateľnosť (determinant, jadro zobrazenia, hodnosť matice,...)

Aby sme mohli invertovať, musí byť zobrazenie prosté. Nech nie je, potom existujú dva rôzne vektory, ktoré sa vynásobením maticou zobrazia na ten istý vektor $A\vec x=A\vec y$ , čiže z linearity $A (\vec x-\vec y) = 0$ , takže zobrazenie sa nedá invertovať $\Leftrightarrow$ jadro zobrazenia $\mbox{Ker} A$ obsahuje netriviálne vektory.

Vektory sú lineárne závislé, ak existuje ich nulová lineárna kombinácia s nenulovými koeficientami. Pozrime sa na maticové násobenie po zložkách (na úrovni riadok krát stĺpec). Zložky nášho nenulového vektora $\vec x-\vec y$ môžeme interpretovať ako nenulové koeficienty, stĺpce matice sú teda lineárne závislé vektory (= hodnosť menšia ako dimenzia priestoru). Ak našu pôvodnú rovnicu $A (\vec x-\vec y) = 0$ transponujeme zistíme, že to isté platí aj pre riadky.

Takúto maticu (s lineárne závislými riadkami) môžeme previesť ekvivalentnými úpravami (=násobením istou transformačnou maticou) na tvar s aspoň jedným nulovým riadkom. Determinant, ktorý je súčtom súčinov cez permutácie bude teda v každom súčine obsahovať aspoň jednu nulu, teda bude sám nulový.