Matematické Fórum

↑ Deep15:

Zjisti signaturu matic. Pokud je stejná, pak jsou kongruentní. To je definice konkruence dvou matic. Nebo je problém v určení signatury?

Omlouvám se, definice kongruence matic je jiná než jsem psal, matice A, B jsou konkruentní, pokud existuje regulární matice Q taková, že . To, že matice jsou kongruentní právě tehdy když mají stejnou signaturu, je pak věta.

Existuje postup, jak najít k matici A diagonální matici D, která je s A kongruentní. Znáš tento postup? Je to trochu podobné Gaussově eliminaci, ale povolené elementární úpravy jsou jiné.

↑ Deep15:

Ano, pokud vyjde, že nemají stejnou definitnost pak nutně nejsou kongruentní. Pokud však jsou obě indefinitní nebo semidefinitní, nemusí být ještě kongruentní.

Elementární úpravy při diagonalizaci:

1. K i-tému řádku přičteme násobek j-tého řádku. Ihned poté k i-tému sloupci přičteme násobek j-tého sloupce.
2. i-tý řádek vynásobíme číslem . Ihned poté i-tý sloupec vynásobíme číslem .
3. Prohodíme i-tý a j-tý řádek. Ihned poté prohodíme i-tý a j-tý sloupec.

Pomocí těchto úprav se můžeme dostat k diagonální matici. Z té se snadno určí signatura. Diagonální matice bude mít stejnou signaturu jako matice původní.

(Ty úpravy vlastně odpovídají přechodu k jiné bázi. Dají se také zapsat maticově, takže si to snadno můžeš dokázat.)

Pokud to tu čte ještě někdo jiný – nevíte, jak se tento postup nazývá, pokud má vůbec nějaký název? Učili jsme se ho v algebře na matfyzu, ale teď když jsem hledal na googlu, tak jsem našel samé doplňování na čtverec, což mi přijde zdlouhavé. Tento postup jsem nikde nenašel.