Matematické Fórum

FliegenderZirkus · 08. 02. 2011 23:29

Uvažujme rovinnou Bézierovu křivku stupně n určenou řídicím polygonem $\mathbf{V}_0,\mathbf{V}_1,\dots ,\mathbf{V}_n$ (pracuju s vektorovou funkcí, tj. i body jsou vektory, resp. koncové body příslušných vektorů):

$&\mathbf{P}(t)=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}t^i (1-t)^{n-i}\mathbf{V}_i\; \; \; t \in [0;1]\; \; \; \; \; (1)$ .
Snažil jsem se dokázat poměrně známý výsledek, totiž že pro tečný vektor v koncovém bodě křivky $\mathbf{V}_n$ platí $\mathbf{P'}(1)=n \overrightarrow{\mathbf{V}_{n-1}\mathbf{V}_n}=n(\mathbf{V}_n-\mathbf{V}_{n-1})$ , tedy že tento vektor je roven n-násobku koncového ramena řídicího polygonu. K tomu stačí zderivovat $(1)$ :

$&\mathbf{P'}(t)=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}\left(it^{i-1} (1-t)^{n-i}-t^i (n-i) (1-t)^{n-i-1} \right) \mathbf{V}_i\; \; \; t \in [0;1]\; \; \; \; \; (2)$
Abych spočítal tečný vektor v koncovém bodě křivky, musím teď do $(2)$ dosadit $t=1$ , což je právě ten problém. Na první pohled by se totiž zdálo, že kvůli výrazům $(1-t)$ v součinu musí všechno vyjít nula, jenže pro $i=n-1$ a pro $i=n$ vyjde ve druhém resp. v prvním členu $0^0$ . Jak se s tím matematicky korektně popasovat, budu muset počítat limitu pro $t\rightarrow 1^-$ ?

/*
Mimochodem - děkuji vedení fóra za MathTex, je to radost :-)
*/

Pavel Brožek · 08. 02. 2011 23:56

↑ FliegenderZirkus:

Chceme určitě, aby byla derivace spojitá, takže bych spočítal limitu. Všimni si, že už v (1) je problém s dosazením t=0 nebo t=1. Také tam bereme limitu, protože chceme spojitost křivky.

FliegenderZirkus

↑ BrozekP:

To je pravda, ta situace vlastně nastane už dřív. Šlo by to řešit takhle?
$\lim_{x\rightarrow 0}x^0=1$ , a tedy v prvním případě:
$\lim_{t\rightarrow 0^+}\mathbf{P}(t)&=\lim_{t\rightarrow 0^+}\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}t^i (1-t)^{n-i}\mathbf{V}_i \\ &= \lim_{t\rightarrow 0^+}t^0(1-t)^n \mathbf{V}_0+\lim_{t\rightarrow 0^+}nt^1(1-t)^{n-1} \mathbf{V}_1+\dots +\lim_{t\rightarrow 0^+}t^n(1-t)^0 \mathbf{V}_n \\ &= \mathbf{V}_0+\mathbf{0}+\dots + \mathbf{0}=\mathbf{V}_0$

Na tu derivaci se podívám až zítra...díky za případnou kontrolu.

Pavel Brožek · 09. 02. 2011 00:40

↑ FliegenderZirkus:

Ano.

Matematické Fórum

#1 08. 02. 2011 23:29

Nula na nultou v počítačové grafice

#2 08. 02. 2011 23:56

Re: Nula na nultou v počítačové grafice

#3 09. 02. 2011 00:32 — Editoval FliegenderZirkus (09. 02. 2011 00:35)

Re: Nula na nultou v počítačové grafice

#4 09. 02. 2011 00:40

Re: Nula na nultou v počítačové grafice

Zápatí