Matematické Fórum

sincere · 19. 05. 2008 09:25

zdravím, mám tu jedno počítání s vektory. Vypočtěte |u − v|, je-li |u| = 13, |v| = 19 a |u + v | = 24. Nevím co dodat víc, tomuhle fakt nemůžu přijít na kloub:/

Olin · 19. 05. 2008 09:40 — Editoval Olin (19. 05. 2008 09:43)

Vektory $\vec{u}(u_x, u_y)$ a $\vec{v}(v_x, v_y)$ .

Zadání je ekvivalentní s rovnicemi:
$u_x^2 + u_y^2 = 13^2\nl v_x^2 + v_y^2 = 19^2\nl (u_x + v_x)^2 + (u_y + v_y)^2 = 24^2$

Rozložíme dvojčleny v poslední rovnici:

$u_x^2 + 2 u_x v_x + v_x^2 + u_y^2 + 2 u_y v_y + v_y^2 = 24^2$

Od této rovnice odečteme dvě první a zbavíme se tak členů s druhou mocninou:

$2 u_x v_x + 2 u_y v_y = 24^2 - 13^2 - 19^2 = 46$

Hledáme $|\vec u - \vec v|$ , což je po umocnění na druhou rovno $(u_x - v_x)^2 + (u_y - v_y)^2$ , a to po rozložení dvojčlenů dává

$u_x^2 - 2 u_x v_x + v_x^2 + u_y^2 - 2 u_y v_y + v_y^2$

Dosadíme z rovnic výše a máme

$|\vec u - \vec v|^2 = 13^2 + 19^2 - 46 = 484$

Hledanou velikost získáme odmocněním, tedy

$|\vec u - \vec v| = \sqrt{484} = 22$