Matematické Fórum

the-ShadoW · 11. 02. 2011 15:47

Musím stanovit hodnotu parametru c aby soustava rovnic:

$x^2+4y^2-16=0 \wedge 2x -3y + c = 0$

zkoušel jsem z toho udělat jednu rovnici a dosadit za x a y libovolná čísla, ale tudy cesta nevede... jak na to?
Předem děkuji, za jakékoliv nápady...

Olin · 11. 02. 2011 15:51

Musíš stanovit hodnotu parametru c aby soustava rovnic co?

Dana1 · 11. 02. 2011 15:54 — Editoval Dana1 (11. 02. 2011 16:01)

↑ the-ShadoW:

Je to sústava s parametrom, z 2. rovnice vyjadri napríklad x, dosaď do 1. rovnice. Dostaneš kvadratickú rovnicu s parametrom p. Riešiteľnosť

rovnice (žiadne riešenie, 1 riešenie, dve riešenia) bude závisieť od toho, či diskriminant rovnice sa vypočítať dá alebo nie - a pre ktoré p je

D =0.

1. vyjadri z rovnice 2 neznámu x (bude tam aj c) ( x = ...)

2. dosaď do 1. rovnice

3. rieš kvadratickú rovnicu pre neznámu y, c ber ako číslo, nie neznámu

Keď to budeš mať, ozvi sa (ak to niekto medzitým nevyvesí).

the-ShadoW · 11. 02. 2011 15:56

↑ Olin:
je to přesně takle napsaný v zadání... nic jsem nevynechal. Takže asi aby platilo znaménko $\wedge$ - a zároveň

the-ShadoW · 11. 02. 2011 16:02

↑ Dana1:
Pokud si vyjádřím x nebo y tak mi po dosazení vzniká $c^2$ ... $\frac{(3y-c)^2}4+4y^2-16=0$

the-ShadoW · 11. 02. 2011 16:04

↑ the-ShadoW:
jooooo... vlastně... už to chápu... mohu si představit c jako x... :D ach ty písmenka :)

Cheop · 11. 02. 2011 16:06 — Editoval Cheop (11. 02. 2011 16:09)

↑ the-ShadoW:
Aby co?
Snad aby to vypadalo takto?

Aha takže pro $c=\pm\,10$ - má soustava 1 řešení
Ostaní už si dopočítej

the-ShadoW · 11. 02. 2011 16:10

↑ Cheop:
Také mi vyšlo c=10 když jsem počítal posvém...
$x^2+4y^2-2x+3y-c-16=0$ dosadil jsem si libovolný bod A=[1,1]
a vyšlo mi c=10, ale takle se to nepočítá, že ne?

Cheop · 11. 02. 2011 16:13

↑ the-ShadoW:
c si jako x představit nemůžeš

Dana1 · 11. 02. 2011 16:14 — Editoval Dana1 (11. 02. 2011 16:16)

↑ the-ShadoW:

Napísala som Ti, čo treba robiť, ale Cheop Ti to asi postne, ja neviem teraz uploadovať obrázky.

Vynásob Tvoju rovnicu číslom 4, máš v nej už len 1 neznámu y, c si netreba všímať, len ho písať.

( )^2 vyrátaj podľa vzorca.

Podľa vzorca pre riešenie kvadratických rovníc y1,2 = ... dostaneš diskriminant. Cheop to robil tak, že položil diskriminant rovný 0.

Skús.

the-ShadoW · 11. 02. 2011 16:17

↑ Cheop:
dobrá... pokud to počítám přes tu kvadratickou rovnici dojdu k fázi... $25y^2+c^2-6yc-64=0$ a dál? a je 25, b je 1 a c je ?

Cheop · 11. 02. 2011 16:20

↑ the-ShadoW:
1)
Vyjádři si z druhé rovnice y a dosaď do první
Dostaneš kvadratickou rovnici s parametrem c
Otázky:
a) Kdy má kvadratická rovnice jeden dvojnásobný kořen?
b) Kdy má 2 reálné kořeny?
c) Kdy nemá reálné kořeny?
Pokud budeš znát odpovědi na uvedené otázky dospěješ ke zdárnému řešení úlohy.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Dana1 · 11. 02. 2011 16:21 — Editoval Dana1 (11. 02. 2011 16:27)

↑ the-ShadoW:

Pozriem, či je to dobre - zatiaľ presuň c na druhú na tretie miesto (je to číslo) a zapíš riešenie kvadratickej rovnice pre neznámu y.

a = 25, b = -6c, "c" = (c na druhú - 64)

a je číslo pri y na druhú, b je číslo (všetko) pri y a c = všetko to, kde nie je y

Cheop · 11. 02. 2011 16:22

↑ the-ShadoW:
Ne
a = 25
b = -6c
c= c^2-64

the-ShadoW · 11. 02. 2011 16:41

↑ Cheop:
Furt se motám v různých blbostech... $y_{1,2}=\frac{6c\pm\sqrt{-64c^2+6400}}{50}$

Zkusim se na to všechno podívat za 15 minut... s čistou hlavou... Ten graf mi příjde asi jako jediný jednoduchý způsob řešení

Dana1 · 11. 02. 2011 16:45

↑ the-ShadoW:

Veď to je ono. Výborne.

Teraz: Keď je pod odmocninou 0, rovnica má práve 1 riešenie. Zisti, pre ktoré c je pod odmocninou 0.

Cheop · 11. 02. 2011 16:48

↑ the-ShadoW:
a) Pro která c z té Tvé rovnice existuje jediný kořen? (jedno y)
přece v momentě když výraz pod odmocinou bude nula
b) Kdy bude mít 2 řešení? (budou y_1 a y_2)
v momentě když výraz pod odmoninou > 0
c) Kdy to nebude mít řešení?
Teď už to dáš dohromady?

the-ShadoW · 11. 02. 2011 17:32

Ano... takže to rekapituluji a uzavřu...

Zadání: Stanovte hodnotu parametru $c$ tak, aby soustava rovnic: $x^2+4y^2-16 = 0$ $\wedge$ $2x-3y + c = 0$

Takže musím najít kdy je Diskriminant roven 0; tzn. kdy mají rovnice jeden společný bod.

vyjádřím si z druhé rovnice $x = \frac{3y-c}2$

dosadím do první rovnice $\frac{(3y-c)^2}4+4y^2-16=0$

po dosazení do vzorce dojdu k $y_{1,2}=\frac{6c\pm\sqrt{-64+6400}}{50}$ , podmínka $D=0$

a teď už jen počítám diskriminant $-64c^2+6400=0$ ; $c=\pm10$

A to je výsledek...

Děkuji Dano a Cheope ;)

Dana1 · 11. 02. 2011 18:35

↑ the-ShadoW:

Ešte nie je úloha "u konce" - Ak má byť priesečník iba 1 bod, vtedy musí byť c = 10 (to je bod B na Cheopovom obrázku) alebo aj -10 (to je bod A na Cheopovom obrázku). Ku každej vyrátanej hodnote y treba dorátať hodnotu x .

Ak by c bolo také, že pod odmocninou by vzniklo záporné číslo, y by neexistovalo a sústava by nemala riešenie (na Cheopovom obrázku by priamky nemali s elipsou spoločný žiadny bod).

Ak by c bolo také, že pod odmocninou vznikne číslo >0, úloha má práve dve riešenia . (tých y sú dva kusy)

Ešte treba k y vyrátať aj x.

Potom sa musí spraviť diskusia o riešeniach vzhľadom k hodnote parametra c.

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2011 15:47

soustava rovnic

#2 11. 02. 2011 15:51

Re: soustava rovnic

#3 11. 02. 2011 15:54 — Editoval Dana1 (11. 02. 2011 16:01)

Re: soustava rovnic

#4 11. 02. 2011 15:56

Re: soustava rovnic

#5 11. 02. 2011 16:02

Re: soustava rovnic

#6 11. 02. 2011 16:04

Re: soustava rovnic

#7 11. 02. 2011 16:06 — Editoval Cheop (11. 02. 2011 16:09)

Re: soustava rovnic

#8 11. 02. 2011 16:10

Re: soustava rovnic

#9 11. 02. 2011 16:13

Re: soustava rovnic

#10 11. 02. 2011 16:14 — Editoval Dana1 (11. 02. 2011 16:16)

Re: soustava rovnic

#11 11. 02. 2011 16:17

Re: soustava rovnic

#12 11. 02. 2011 16:20

Re: soustava rovnic

#13 11. 02. 2011 16:21 — Editoval Dana1 (11. 02. 2011 16:27)

Re: soustava rovnic

#14 11. 02. 2011 16:22

Re: soustava rovnic

#15 11. 02. 2011 16:41

Re: soustava rovnic

#16 11. 02. 2011 16:45

Re: soustava rovnic

#17 11. 02. 2011 16:48

Re: soustava rovnic

#18 11. 02. 2011 17:32

Re: soustava rovnic

#19 11. 02. 2011 18:35

Re: soustava rovnic

Zápatí