Matematické Fórum

geo1024 · 10. 02. 2011 13:49

Dobrý den,
trápím se s příkladem
"Jak velká práce byla vykonána, jestliže pružina ve svislém směru protažená o 2 cm při zavěšeném závaží o hmotnosti 2 kg, byla z této polohy prodloužena o 10 cm."

Moc děkuji za rady a tipy při výpočtu.

zdenek1 · 10. 02. 2011 14:28

↑ geo1024:
A to závaží na ní stále visí?

Rumburak

Nechť $L_0$ je délka pružiny při nulovém zatížení.
Předpokládejme, že prodloužení pružiny je (analogicky s Hookovým zákonem) přímo úměrné působící síle.
Potom lze i obráceně říci , že prodloužení o celkový přírůstek $\lambda$ (tj. z délky $L_0$ ) bude dosaženo sílou $F(\lambda)$
přímo úměrnou hodnotě $\lambda$ , což nás vede ke vzorci $F(\lambda) = q\lambda$ pro vhodnou konstantu $q$ , jejíž hodnotu
vypočítáme z první podmínky úlohy.

Práce potřebná na protažení pružiny z délky $L_1 \ge L_0$ na délku $L_2 > L_1$ pak bude rovna

$A(L_1,L_2) =\,\int_{L_1 - L_0}^{L_2 - L_0}\, F(\lambda) \,\mathrm{d} \lambda$ .

EDIT. Částí síly, která prodlouží pružinu z délky $L_1$ na délku $L_2$ , bude i tíha toho dvoukilogramového závaží.

Dosadíme, spočítáme... Stačí takto ?

geo1024 · 10. 02. 2011 18:08

↑ zdenek1:

Ano, stále visí.

pepano · 10. 02. 2011 18:18

Ze vztahu $F = ky$ určíme tuhost pružiny k.
$k = \frac{mg}{y}$ a dosadíme m = 2 kg a za y = 0,02 m.
Práci pak vypočteme ze vztahu
$W = \frac12 k y^2$ . Za y dosadíme tentokráte 10 cm = 0,1 m.

geo1024 · 10. 02. 2011 18:21

↑ pepano:

Děkuji moc... Takto to nejspíš mělo být jednoduše a primitivně pro mě.
Ještě jednou velký dík!

zdenek1 · 10. 02. 2011 18:43

↑ geo1024:
Proto jsem se ptal na to těleso. Pokud při tom prodloužení klesá i to těleso, jeho potenciální energie se zmenší, a práce vněší síly, která prodlužuje pružinu bude o tuto hodnotu menší.
$W=\frac12ky^2-my$

Pavel Brožek

↑ zdenek1:

Neměl bys tam mít ještě odečtenou energii v počáteční poloze (se závažím)?

$W=\frac12k(y^2-y_1^2)-m(y-y_1)$

kde tedy $y=12\,\mathrm{cm}$ a $y_1=2\,\mathrm{cm}$ .

Edit: Pokud jsi myslel $y=10\,\mathrm{cm}$ , pak to také podle mě není dobře.

zdenek1 · 10. 02. 2011 19:00

↑ BrozekP:
No asi jo.

pepano · 11. 02. 2011 17:08

↑ BrozekP: , ↑ zdenek1:

Jedná se o klasický středoškolský příklad. Po zavěšení závaží na pružinu se závaží usadí v rovnovážné poloze, kdy tíha závaží je vyvážena silou pružiny. Chceme-li pak vychýlit závaží, pak musíme na závaží působit silou, která je přímo úměrná výchylce a má opačný směr než výchylka.
$F = - k y$
Tato síla pak koná práci $W = \frac12 k y^2$ , která se mění v potenciální energii pružnosti.

Co je podle vás součin hmotnosti a výchylky $m y$ . To nemá nic společného s energií.

zdenek1 · 11. 02. 2011 17:53

↑ pepano:
to zapometuté $g$ je kiks, omlouvám se

K tomu dalšímu: možná ti pomůže obrázek

Když počítáš $W=\frac12ky^2$ a $y=10\,\text{cm}$ spočítáš jen tu červenou plochu, jenomže práce od 2 do 12 je rovna celé ploše (i té modré)

pepano · 11. 02. 2011 18:17

↑ zdenek1:

Ale to bych pružinu musel natahovat 12 cm z rovnovážné polohy a práci počítat od 2 cm do 12 cm. Otázka však zní, jaká práce byla vykonána, když se pružina vychýlila o 10 cm z rovnovážné polohy.

Pavel Brožek

Nevím, proč jsme se Zdeňkem oba zapomněli na g, to už neřešme, to je jasná chyba.

Každý používáme jiné značení, bude se tedy držet toho, co jako první zavedl Rumburak: $L_0$ je počáteční délka, $L_1$ délka po zavěšení závaží a $L_2$ po protažení do maximální polohy. Přitom $L$ budu značit obecnou délku.

↑ pepano:

Máš pravdu ty i já :-).

Síla, kterou je nutno působit na pružinu (bez závaží) při protažení do délky $L$ je $F(L)=k(L-L_0)$ . Nás ale zajímá pouze práce síly, kterou působíme my, tedy zmenšená o tíhu závaží: $F'(L)=F(L)-mg=k(L-L_0)-mg$ . Víme, že platí $F(L_1)=mg$ , tedy $k(L_1-L_0)=mg$ . Obecně naše síla při prodloužení $L$ je po dosazení za $mg$ rovna $F'(L)=k(L-L_0)-k(L_1-L_0)=k(L-L_1)$ . Práci teď můžeme spočítat dvěma způsoby:

„Můj“ způsob:

$W&=\int_{L_1}^{L_2}F'(L)\,\mathrm{d}L=\int_{L_1}^{L_2}\left(k(L-L_0)-mg\right)\,\mathrm{d}L=\\ &=\left[\frac12k(L-L_0)^2-mgL\right]_{L_1}^{L_2}=\frac12k\left[(L_2-L_0)^2-(L_1-L_0)^2\right]-mg(L_2-L_1)$

„Tvůj“ způsob:

$W&=\int_{L_1}^{L_2}F'(L)\,\mathrm{d}L=\int_{L_1}^{L_2}k(L-L_1)\,\mathrm{d}L=\\ &=\left[\frac12k(L-L_1)^2\right]_{L_1}^{L_2}=\frac12k(L_2-L_1)^2$

S pomocí vztahu $k(L_1-L_0)=mg$ se dají naše výsledky převádět jeden na druhý.

↑ zdenek1:

Ty teda počítáš práci kterou vykonáme my a závaží zároveň? Pak bys měl mít výsledek

$W=\frac12ky^2+mgy$ ,

kde $y=10\,\mathrm{cm}$ , je to tak?