Matematické Fórum

joinusman · 11. 02. 2011 20:20

Dobrý den, nevím si rady s následující logaritmickou rovnicí:

log^2{sqr(2)}(x) + 3log{2}(x) + log{0,5}(x) = 2

Výsledek je 0,5 a sqr(2).

Děkuji (doufám, že jsem rovnici zapsal správně)

byk7 · 11. 02. 2011 20:40

↑ joinusman: je to takhle?
$\log_{\sqrt2}^2(x)+3\log_2(x)+\log_{\frac12}(x)=2$

BakyX · 11. 02. 2011 20:53 — Editoval BakyX (12. 02. 2011 10:14)

↑ joinusman:

$\log_{\sqrt2}^2(x)+3\log_2(x)+\log_{\frac12}(x)=2$

Upravíš si logaritmy na základ 10 pomocou pravidla: http://www.aristoteles.cz/matematika/ro … aritmy.php

Dostaneš:

$\frac{\log^2(x)}{\log^2(\sqrt{2})}+\frac{\log(x)}{\log(2)}+\frac{\log(x)}{\log(\frac12)}=2$

Teraz využiješ pravidlá:

$\log^2(\sqrt{2})=\frac{log^2(2)}{2}\nl \log(\frac12)=\log(1)-\log(2)$

Potom celú rovnicu vynásobíš spoločným menovateľom a riešiš kvadratickú rovnicu.

joinusman

Od pohledu se mi to zdálo vyřešené, ale objevil jsem následující problém:

$\log_{\sqrt2}^2(x)+3\log_2(x)+\log_{\frac12}(x)=2$

Když upravuji $3\log_2(x)$ ,neměl bych spíše dostat $\frac{3\log(x)}{\log(2)}$ ?

Pak tedy: $\log(\frac12)=\log(1)-\log(2) = 0 - \log(2)$

Z toho mi plyne následující:

$\frac{2\log^2(x)}{\log^2(2)}+\frac{3\log(x)}{\log(2)}-\frac{\log(x)}{\log(2)}=2$

Odsud tedy:
$\frac{2\log^2(x)}{\log^2(2)}+\frac{2\log(x)}{\log(2)}=2$

Nakonec mi vyšla tato kvadratická rovnice, která se mi ale nedaří substitucí upravit:

${log^2(x)} + {log(x)}*{log(2)} - {log^2(2)} = 0$

Asi jsem někde udělal chybu, ale pořád s dostávám k tomuto výsledku.