Matematické Fórum

Kmen ... válec
Trám ... do něj vepsaný kvádr.
Objem válce: V1 = S1*v ..... S1 je podstava a v je výška
Objem kvádru: V2 = S2*v ..... S2 je podstava a v je výška
Kolik dřeva se využije (v poměru): V2/V1 = (S1*v)/(S2*v) = S1/S2.
Úlohu tedy převádíme na problém: v jakém pomměru budou obsahy podstav? Podstava válce je kruh s obsahem S2 = pi*r^2, kde r je poloměr kruhu, zatímco podtsava kvádru je obdélník s obsahem S1 = A*B, kde A, B jsou rozměry obdélníku.
Podle zadání platí: A/B=1/k, odtud Ak=B.
Navíc pokud má býd obdélník vepsaný do kvádru a má být co největší (aby byl co nejmenší odpad), tak platí: A^2 + B^2 = (2r)^2 (Pythagorova věta, doporučuji nakreslit),
odtud po dosazení a upravení A^2 + A^2*k^2 = 4r^2.
Po vytknutí dostaneme: A^2*(1+k^2) = 4r^2.
Po vydělení: A^2 = 4*(r^2)/(1+k^2).
A = 2r/sqrt(1+k^2).
Po dosazení do vztahu B=Ak dostaneme: B = 2rk/sqrt(1+k^2).
Dále máme S2 = A*B = [2r/sqrt(1+k^2)] * [2rk/sqrt(1+k^2)] = 4k*r^2/(1+k^2).
Hledaný poměr tedy bude S1/S2 = [4k*r^2/(1+k^2)] / [pi*r^2] = 4k / [pi*(1+k^2)],
vyjádřeno pro libovolný parametr k. Je potřeba si uvědomit, že jsme spočítali to, co se z dřeva využije, takže to odečti od čísla 1 a máš odpad, ten pak už jen převedeš na procenta. Dosazení k=1,4 si proveď jako cvičení.