Matematické Fórum

macík · 19. 05. 2008 13:42

Ahoj. Prosím o pomoc s příkladem, kde mam vypočítat sumu od jedny do nekonecna z 1/[(2n-1)(2n+1)] pomocí Gosperova algoritmu. Děkuji moc.

martanko · 19. 05. 2008 13:52

↑ macík:
neni to tazke.. poradim ti.. rozloz si vyraz na dva parcialne zlomky ;) ale ak chces tak ti napisem celu postup, ak mas vysledok tak porovnaj ci to vyjde 1/2 - 1/(2(2n+1)) podstatou ulohy je aby si ten predpis zjednodusil.. co nie je az take tazke ak vies co mas robit s napovedou :)

martanko · 19. 05. 2008 14:18

$\sum \limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{(2n+1)(2n-1)}$ \nl \bigskip $\frac{1}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{A}{(2n-1)} + \frac{B}{(2n+1)} /.(2n-1)(2n+1)$ \nl \bigskip $\frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n-1)(2n+1)} = A(2n+1) + B(2n-1)$ \nl \bigskip $0.k + 1 = k.(2A+2B) + (A-B)$ \nl \bigskip $2A+2B = 0$ \nl $A-B = 1$ $\Rightarrow A = \frac{1}{2}, B = - \frac{1}{2}$ \nl \bigskip $\frac{\frac{1}{2}}{(2n-1)} + \frac{-\frac{1}{2}}{2n+1} = \frac{1}{2(2n-1)} - \frac{1}{2(2n+1)}$ \nl \bigskip $\sum \limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{2(2n-1)} - \frac{1}{2(2n+1)} = \left[\left(\frac{1}{2(2-1)} - \frac{1}{2(2+1)}\right) + \left(\frac{1}{2(4-1)} - \frac{1}{2(4+1)}\right) + ... + \left(\frac{1}{2(2n-1)} - \frac{1}{2(2n+1)}\right) \right]$ \nl \bigskip $\sum \limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{2(2n-1)} - \frac{1}{2(2n+1)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2(2n+1)}$