Matematické Fórum

veronica · 19. 05. 2008 18:06

Ahoj, mohl by mi někdo pomoc s výpočtem těchto dvou příkladů?

1. najděte duální bázi: pohybujeme se v polynomech stupně nejvýše 2, $u_1 = x^2, u_2 = x^2+1, u_3 = 2x-1$
Vím, že když mám u1, u2, u3 zadané jako vektory, tak si postupuji:
f1(x1, x2, x3) = ax1 + bx2 +cx3
f1(u1) = ... = 1
f1(u2) = ... = 0, atd.
Hlavní problém je v tom, že nevím, jak zapsat f1(x1, x2, x3), když se jedná o polynomy.

2. k danému zobrazení najděte duální
U = R^3, V = R^2, f(x1, x2, x3) = (2x1 + x3, x2 - 6x3)

Díky

Kondr · 19. 05. 2008 22:23

ad 1)
Matice naší báze (matice přechodu od ní k bázi kanonické x^2,x,1) je
1 1 0
0 0 2
0 1 -1
Matici duální báze získáme tak, že tuto matici transponujeme:
1 0 0
1 0 1
0 2 -1
a invertujeme:
1 0 0
-0.5 0.5 0.5
-1 1 0

po sloupcích vyčteme
f1(ax^2+bx+c)=x^2-x/2-c
f2(ax^2+bx+c)=x/2+c
f3(ax^2+bx+c)=x/2

je to to samé, jako kdybys počítala s trojicemi. Akortát místo (a,b,c) píšeš (ax^2+bx+c). Ty x^i jsou tam jen jako oddělovače, v podstatě místo čárek (akorát narozdíl od čárek udávají pořadí. x^2-1 a -1+x^2 jsou dva zápisy téhož vektoru). Je potřeba si u nich dávat pozor, jak kdo definuje kanonickou bázi. Jestli v pořadí x^2,x,1 nebo 1,x,x^2. Na většinu výsledků to vliv nemá, na matice zobrazení ale například ano.

ad 2)
Z matice tohoto zobrazení
2 0 1
0 1 -6
dostaneme matici zobrazení duálního buď opsáním nebo transponováním, podle toho, jakých konvencí se držíme. Viz
http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/ … de109.html

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2008 18:06

duální prostory

#2 19. 05. 2008 22:23

Re: duální prostory

Zápatí