Matematické Fórum

BakyX · 13. 02. 2011 18:20

Zdravím..Mohol by mi niekto ukázať, ako vyriešiť napríklad túto rovnicu ?

$(-2)^x=10$

v množine komplexných čísel ? Ďakujem

FailED · 14. 02. 2011 00:55 — Editoval FailED (14. 02. 2011 01:17)

↑ BakyX:

Ahoj, s komplexní exponenciálou jsem se (zatím) nepotkal ani na vš, ani nevím jestli se standardně učí... - spíš asi piš do vš. :)

Já bych na to zkusil jít takhle:

wolfram říká:
$e^a(\cos b+\rm{i}\sin b)=e^{a+bi}$ (a, b jsou reálná)

Tedy $z=e^{\log |z|}(\cos \varphi +\rm{i}\sin \varphi)=e^{\log |z|+\rm{i}\varphi}$ kde $\varphi=\rm{arg}(z)$ je argument komplexního čísla.

$-2=e^{\log 2}(\cos ((2k+1)\pi) + \rm{i}\sin ((2k+1)\pi)=e^{\log 2+\rm{i}(2k+1)\pi}$

Teď když počítáme rovnici s proměnnou x, nemusíme u -2 uvažovat periodu, s každým posunutím bychom dostali jen posunuté řešení.*
$(-2)^x=e^{x(\log 2+\rm{i}\pi)}=e^{\log 10+2k\rm{i}\pi}$
$x(\log 2+\rm{i}\pi)=\log 10+2k\rm{i}\pi$
$x=\frac{\log 10+2k\rm{i}\pi}{\log 2+\rm{i}\pi}$

* Platí totiž $$e^{z_1}$^{z_2}=e^{z_1\cdot z_2}$ a $\rm{arg}(z_1\cdot z_2)=\rm{arg}(z_1)+\rm{arg}(z_2)$ .

Doufám že ti tady nepíšu blbosti.

Matematické Fórum

#1 13. 02. 2011 18:20

Exponenciálna rovnica v C

#2 14. 02. 2011 00:55 — Editoval FailED (14. 02. 2011 01:17)

Re: Exponenciálna rovnica v C

Zápatí