Matematické Fórum

Fhact0r

Označme P(x) součin a S(x) součet cifer nezáporného celého čísla x.
Kolik řešení má rovnice $P(P(x))+P(S(x))+S(P(x))+S(S(x))=2010$ ?

Cumim na tenhle priklad uz pul hodinu a vubec nevim kde zacit. Moh by mi nekdo z vas pomoct? Predem dikx.

Dana1 · 18. 01. 2011 23:05 — Editoval Dana1 (18. 01. 2011 23:07)

↑ Fhact0r:

Moc to nevyzerá ako rovnica...

Pre dané čísla by som tie čudá vedela vyrátať, ale chýba pravá strana...či?

Fhact0r

↑ Dana1:
ja vul sem to zapomel dopsat, uz je to opraveno.

Phate · 18. 01. 2011 23:50

P(x) se ma rovnat 2010, takze si rozepis 2010 na cifry(cisla mensi nez 10) nebo lepe na prvocinitele a zkus, jestli v tom neco uvidis, to by byla ma zakladni idea, resit jsem to zatim nezkousel. Odkud tu ulohu mas? Takove vysledky typu =2010 =2009 byvaji vetsinou z olympiad nebo mat. klokanu

Fhact0r · 19. 01. 2011 00:28

↑ Phate:
Jo, ulohu mam ze skoly, nicmene je mozne, ze uz nekdy byla na nejake MO ikdyz to nepredpokladam.

Dana1 · 19. 01. 2011 00:43

↑ Phate:

Takto zapísaný zápis vyzerá ako súčet...

Fhact0r

Uz sem o tom neco nasel na netu (kompletni reseni vsak ne :/). Je to z finaloveho kola rakouske matematicke olympiady 1983 (s malinkou upravou). Reseni $x$ je zrejme nekonecny pocet - a to je treba dokazat.

Fhact0r

Jo, tady je reseni ke kteremu sem pozdeji dospel, kdyby to nekoho zajimalo.

$S(P(x))=0$ , když $P(x)=0$ .
$P(P(x))=0$ , když ciferný součet $P(x)$ obsahuje 0.
$P(S(x))=0$ , když ciferný součet $S(x)$ obsahuje 0.
$S(S(x))=2010$ , když je ciferný součet $S(x)$ rovný 2010.
$S(x)$ , který tohle vše splňuje je např.
30999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999, tedy číslo ve kterém následuje za prvními dvěma ciframi 3 a 0, 233 cifer 9.

$x$ pak bude číslo, ve kterém je zaokrouhleně dolů $S(x) \over 9$ cifer 9, před nimi alespoň jedna 0 a před ní cifra $S(x)\,\bmod\,9$ .

Do zápisu takového čísla $x$ můžeme libovolně vkládat jakýkoliv počet cifer 0 a výše uvedené podmínky budou stále platit a tím pádem bude platit i samotná rovnice $P(P(x))+P(S(x))+S(P(x))+S(S(x))=2010$ . Řešení této rovnice je tedy nekonečný počet.