Matematické Fórum

kralovnicka · 14. 02. 2011 01:29

Ahoj,
prosim Vas, nemel byste nekdo napad, jak vyresit tento priklad?
Najdete vsechna celociselna reseni rovnice

1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + 1/x4 = 1

pro ktera plati 3 *je mensi nebo rovno* x1 *je mensi nebo rovno* x2 *je mensi nebo rovno* x3 *je mensi nebo rovno* x4

dekuji!

Honzc · 14. 02. 2011 06:38 — Editoval Honzc (14. 02. 2011 06:47)

↑ kralovnicka:
Jedno řešení je nasnadě:
x1=x2=x3=x4=4
Další:
x1=x2=3,x3=x4=6
Víc jich myslím nebude (ale nevím to jistě)

tomis33

x1=3; x2=x3=4; x4=6

kralovnicka · 14. 02. 2011 09:01

diky moc, ale jak jste na to prisli?

tomis33

Neviem či je to možné riešiť aj ináč ako úvahou.
Všetky korene musia byť väčšie prípadne rovné číslu 3... ľavá strana preto nemôže byť nikdy väčšia ako 4/3.

Preto stačí skúšať kombinácie nižších koreňov...

vieš že 1/3 + 1/6 = 1/2
taktiež 1/4 + 1/4 = 1/2

z toho vytvoríš tie 3 riešenia

Koreňom nikdy nemôže byť 5, nakoľko sčítaním 1/5 s inými 3 zlomkami asi nedostaneš len tak ľahko 1

Ďalším riešením už môžu byť len možnosti, keď zvolíš 2 najväčšie prvé 2 sčítance... Teda 1/3 + 1/3 ... k nim prirátaš ďalší relatívne väčší 1/4 (1/6 to byť už nemôže, ten výsledok už máme).... posledný sčítanec bude 1/12

preto 4. riešenie je x1=x2=3; x3=4; x4=12

FailED · 14. 02. 2011 12:35 — Editoval FailED (14. 02. 2011 12:37)

↑ kralovnicka:

Můžeme řešit takhle:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=1=4\cdot\frac14$ - z toho aspoň jedno číslo (tedy $x_1$ ) musí být nejvýš 4, kdyby byla všechna větší, součet převrácených hodnot by byl menší než 1.

Podobně postupujeme dál až k $x_2$ .

Všechna řešení jsou opravdu $(x_1, x_2, x_3, x_4)\, =\, (4,4,4,4),\, (3,4,4,6),\, (3,3,6,6),\, (3,3,4,12)$ .

kralovnicka · 14. 02. 2011 18:40

↑ FailED:

takze za x1 dosadim od 1 do 4 a za x2, x3, x4 libovolna cisla? a tak to budu delat potom i s x2, x3, x4? dekuji moc!

FailED · 14. 02. 2011 19:40 — Editoval FailED (14. 02. 2011 19:41)

↑ kralovnicka:

Od 3 do 4 :) dál postupuješ stejně, např. když je $x_1=3$ , je $\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac23$ a z toho musí být aspoň jedno menší nebo rovno $\frac92$ - tedy aspoň jedno musí být nejvýš 4. Tím jsme dostali, že pro $x_1=3$ platí jedna z možností $x_2=3$ nebo $x_2=4$ .