Matematické Fórum

kralovnicka · 15. 02. 2011 20:02

ahojte, nevedel byste nekdo prosim, jakresit tuto ulohu?

Urcete vsechny pythagorejske trojice s ,,preponou“ 65.

nasla jsem tu nekde nejaky navod, ale absolutne jsem ho nepochopila..

dekuji moc!

check_drummer · 15. 02. 2011 21:16

Hledáme a,b, že $a^2+b^2=65$ . Stačí zkoumat 1<=a<= $\sqrt{65/2}$ .

kralovnicka

↑ check_drummer:

nemohl bys mi prosim ukazat aspon zacatek, jak by si to zkoumal? dekuji moc!

ja jsem tento priklad resila takhle... nevis kdy by tam mohla byt chyba?

zdenek1 · 15. 02. 2011 22:58

↑ kralovnicka:
podle tvého značení:
$c=x^2+y^2$
$65=x^2+y^2$ a $x,y\in\mathbb N$
Nalevo je liché číslo, takže právě jedno z čísel $x$ , $y$ musí být liché.
prozkoumáme možnosti
$x=1\ \rightarrow\ y=8$ , $16^2+63^2=65^2$
$x=3\ \rightarrow\ \emptyset$
$x=5\ \rightarrow\ \emptyset$
$x=7\ \rightarrow\ y=4$ , $56^2+33^2=65^2$

kralovnicka · 15. 02. 2011 23:14

↑ zdenek1:

diky moc! a je tam urcite i ta sedmicka, kdyz x by melo byt mensi nebo rovno odmocnine z 65/2? nebo nema tam byt jen odmocnina z 65?

zdenek1 · 16. 02. 2011 07:57

↑ kralovnicka:
Platí to?
$56^2+33^2=65^2$
Platí. Takže je tam i sedmička.

kralovnicka · 17. 02. 2011 06:41

↑ zdenek1:

ale ta podminka co pise chect dummer neplati ne? nebo neni podstatna?

zdenek1 · 17. 02. 2011 07:54

↑ kralovnicka:
Podle mě podstatná není.

check_drummer

Pardon, zapomněl jsem umocnit:

Hledáme a,b, že $a^2+b^2=65^2$ . Stačí zkoumat 1<=a<= $\sqrt{65^2/2}$ .

Ale aby se jednalo o primitivní pythagorejskou trojici (PPT), musí platit $x^2+y^2=65$ . A následně $a=x^2-y^2$ a $b=2xy$ . Tím dostaneme řešení $63^2+16^2=65^2$ a $33^2+56^2=65^2$
Pokud netrváme na PPT, lze násobit a,b,c libovolným k, tedy místo 65 musíme zkoumat případy c=13,5, pak dostaneme: $5^2+12^2=13^2$ (a tedy $25^2+60^2=65^2$ ) a $3^2+4^2=5^2$ (a tedy $39^2+52^2=65^2$ ).