Matematické Fórum

joinusman · 17. 02. 2011 21:22

Ahoj, nevím si rady s následující úlohou:

V pravidelném šestiúhelníku ABCDEF je M střed strany DE. Poměr obsahů trojúhelníků
EFM a AFM je? (obrázek je pouze ilustrační)

Poraďte prosím.

BakyX · 17. 02. 2011 21:28 — Editoval BakyX (17. 02. 2011 21:30)

Ahoj..

$S_{\triangle EFM}=\frac{1}{2}|EF||EM| \sin({\angle FEM})\\ S_{\triangle AMF}=\frac{1}{2}|MA||AF| \sin(\angle MAF)$

Čo konkrétne z týchto vzorcov nedokážeš vyjadriť pomocou strany šesťuholníka respektíve ktoré uhly nevieš vypočítať ?

joinusman · 17. 02. 2011 21:35

↑ BakyX:

Ahoj, děkuji za radu, ale stále mi není jasné, jak odvodím délku
strany MA a čemu se rovná úhel MAF.

BakyX · 17. 02. 2011 21:39

Nájdi stred úsečky AB (napríklad X) a použi pytagorovú vetu pre trojuholník AXM.

Uhol MAF:

Kružnica opísaná šesťuholníku je kružnica opísaná trojuholníku MAF. Ak označíme jej stred ako S, tak uhol AMB je rovný polovici uhlu ASB (veta o obvodovom a stredovom uhle). Na základe toho dopočítaš uhol BAM a následne MAF.

zdenek1 · 17. 02. 2011 22:02

↑ joinusman:

Obsah $S_1=\frac12\frac a2v=\frac14av$
$S_2=\frac12a2v=av$
Obsah celého šestiúhelníka je $S=6\frac12av=3av$
$S=2S_1+2S_x+S_2\ \Rightarrow\ S_x=\frac12(S-S_2-2S_1)=\frac12(3av-av-\frac12av)=\frac34av$

Zbytek snad zvládneš

joinusman · 17. 02. 2011 22:07

Děkuji, teď už je mi to zase o něco jasnější.

KoTy182 · 18. 02. 2011 00:15

BakyX napsal(a):
Kružnica opísaná šesťuholníku je kružnica opísaná trojuholníku MAF.

tohle podle me neni pravda

BakyX · 18. 02. 2011 07:35

↑ KoTy182:

AHa fakt..Zmýlil som sa..

Honzc · 18. 02. 2011 11:23 — Editoval Honzc (18. 02. 2011 13:09)

↑ joinusman:
Protože máme počítat poměry, můžeme si stranu 6-ti úhelníka položit rovnu 1.
A potom je podle mě je nejelegantnější spočítat z pravoúhlých trojúhelníků
1.troj. FSM (S je střed 6-ti úhelníka) stranu FM =sqrt(7)/2
2.troj. AMN (N je střed strany AB) stranu AM=sqrt(13)/2

troj.EFM má strany: 1,sqrt(7)/2,1/2
troj.FAM má strany: 1,sqrt(13)/2,sqrt(7)/2

Pro výpočet obsahů použijeme Heronův vzorec.
A po nepříliš složitém počítání (bez použití kalkulačky) vyjde:
S(EFM)=sqrt(3)/8
S(FAM)=sqrt(27)/8

p=sqrt(27)/sqrt(3)=3

joinusman · 18. 02. 2011 13:15

Děkuji všem za radu, teď už to chápu.

Matematické Fórum

#1 17. 02. 2011 21:22

Šestiúhelník

#2 17. 02. 2011 21:28 — Editoval BakyX (17. 02. 2011 21:30)

Re: Šestiúhelník

#3 17. 02. 2011 21:35

Re: Šestiúhelník

#4 17. 02. 2011 21:39

Re: Šestiúhelník

#5 17. 02. 2011 22:02

Re: Šestiúhelník

#6 17. 02. 2011 22:05 Příspěvek uživatele joinusman byl skryt uživatelem joinusman.

#7 17. 02. 2011 22:07

Re: Šestiúhelník

#8 18. 02. 2011 00:15

Re: Šestiúhelník

BakyX napsal(a):

#9 18. 02. 2011 07:35

Re: Šestiúhelník

#10 18. 02. 2011 11:23 — Editoval Honzc (18. 02. 2011 13:09)

Re: Šestiúhelník

#11 18. 02. 2011 13:15

Re: Šestiúhelník

Zápatí