Matematické Fórum

ao0 · 18. 02. 2011 09:19

Ahoj, chtěl bych se zeptat, jak se má řešit tato rovnice $\frac{3}{2^{x-1}}+\frac{6}{1-2^x}=\frac{1}{2^x}$ (vůbec nevím, jak ji vyřešit, když je neznámá x jako exponent ve jmenovateli).
Předem díky za každou odpověď.

zdenek1 · 18. 02. 2011 09:35

↑ ao0:
udělej si substituci $2^x=t$ a řeš
$\frac3{\frac12t}+\frac6{1-t}=\frac1t$

Hudler · 18. 02. 2011 09:38 — Editoval Hudler (18. 02. 2011 09:39)

Asi nejsnažší je zavést substituci: S: 2^x = a , ve jmenovateli 1. zlomku si výraz rozložíš na 2^x*2^-1 a počítáš rovnici. Vyjádříš si a=(nějaký výraz), za a dosadíš 2^x a výsledek vyjádříš jako logaritmus. Napiš k čemu si došel.

//A já už se radoval že můžu někomu poradit :).

Cheop · 18. 02. 2011 09:41

↑ ao0:
Nemá ta rovnice být takto?
$\frac{3}{2^{x-1}}-\frac{6}{1-2^x}=\frac{1}{2^x}$
Protože ta Tvoje nemá v reálných číslech řešení
Jinak dej substituci:
Nápověda:

ao0 · 18. 02. 2011 10:53 — Editoval ao0 (18. 02. 2011 10:53)

Tak jsem ten příklad dvakrát přepočítával a výsledek je, že příklad nemá řešení (v učebnici je napsáno, že rovnice nemá žádný kořen).

Zde je můj výpočet:
za substituci si dosadím $2^x=t$
$\frac3{\frac t2}+\frac6{1-t}=\frac1t$ pak vynásobím společným jmenovatelem a dostanu
$3t(1-t)+\frac{6 t^2}{2}={\frac t2}(1-t)$
$3t-3t^2+3t^2=0,5t-0,5t^2$
$3t=0,5t-0,5t^2$
$2,5t=-0,5t^2$
$5=-t$
$t=-5$

pak dosadím do $2^x=t$
$2^x=-5$
po úpravě
$x=\frac{log-5} {log2}$
a jelikož $log-5$ nejde, tak výsledek je, že rovnice nemá řešení.

Pokud tam mam chybu, tak mě prosím opravte.