Matematické Fórum

BakyX · 19. 02. 2011 13:51

Máme rovnicu:

$(-2)^x=(-2)^2$

Prečo nemá táto rovnica v R riešenie. Dosadím "x=2" a dostanem rovnosť. Podľa wolfrámu to má riešenie iba v C. A vlastne úprava na rovnaké základy je definované pre základy väčšie ako 0.

Mohol by mi to niekto vysvetliť ? Ďakujem

Stýv · 19. 02. 2011 14:25

podle wolframu má nekonečně mnoho řešení, z nichž jedno je číslo 2, ostatní jsou komplexní

BakyX · 19. 02. 2011 14:36

↑ Stýv:

Mne sa to tu nezdá..

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … %28-2%29^2

jarrro · 19. 02. 2011 14:45

↑ BakyX:veď dole je solution a závisí od "n" a pod tým je napísané,že n je celé číslo

Pavel Brožek

Často se definuje pouze mocnina kladných čísel. V tomto případě, aby vůbec měla úloha smysl, musíme vzít nějakou obecnější definici. Dobrá definice mocniny komplexních čísel je tato:

Mějme komplexní čísla $z$ a $x$ . Pak $z^x=\mathrm{e}^{x\cdot\mathrm{Ln}\,z}$ , kde $\mathrm{Ln}\,z=\ln r+\mathrm{i}\varphi$ , jestliže $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$ , $r\in(0,\infty)$ , $\varphi\in(-\pi,\pi]$ (tomuto se říká hlavní větev logaritmu, komplexní logaritmus se dá definovat různě, ale na definici mocniny komplexního čísla to nemá vliv).

S touto definicí můžeme vyjádřit levou stranu:

$(-2)^x=\mathrm{e}^{x\cdot\mathrm{Ln}\,(-2)}=\mathrm{e}^{x\cdot\mathrm{Ln}\,(2\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi})}=\mathrm{e}^{x\cdot(\ln 2+\mathrm{i}\pi)}=\mathrm{e}^{x\ln2}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi x}=$

V našem případě je $x$ reálné, takže můžeme psát

$=2^x\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi x}$

Máme tak oddělenu absolutní hodnotu čísla a komplexní jednotku. Na pravé straně je

$(-2)^2=2^x\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi x}|_{x=2}=2^2\cdot\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=2^2=4$ .

Porovnáme velikost komplexních čísel na obou stranách:

$2^x=4$

Z toho dostaneme nutně $x=2$ . Snadno ověříme, že i komplexní jednotky se pro $x=2$ rovnají: $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi \cdot2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi \cdot0}$ . $x=2$ je tedy jediným řešením v reálných číslech.

Pozn.: Používám funkci $\mathrm{e}^x$ komplexní proměnné $x$ , tato funkce se samozřejmě musí také nějak definovat, ale to už pro naše účely snad není nutné rozebírat. Používal jsem asi jen jednu její podstatnou vlastnost: $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\cdot\mathrm{e}^b$ .