Matematické Fórum

byk7 · 19. 02. 2011 16:34

Je dána funkce
$f(x):=\frac{ax+b}{cx+d}$ ,
pro kterou platí
$f(1)&=3 \\ f(2)&=1 \\ f(3)&=2.$
Určete koeficienty této funkce.

Především zdravím,

podle mě je takových funkcí nekonečně mnoho, protože soustava
$a+b&=3c+3d \\ 2a+b&=2c+d \\ 3a+b&=6c+2d$
má nekonečně mnoho řešení.

V knize ale uvádí výsledek pouze pro $a=7$ (Úvod do matematické analýzy (Zbyněk Dlouhý, Karel Hruša, Jiří Kůst, ...), 1983).

Dělám někde chybu?

Dotaz 2:

Platí tvrzení, že:
"Každou lomenou lineární funkci $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ můžu přepsat do tvaru $y=\frac{\alpha}{x+\beta}+\gamma$ , jejíž asymptoty jsou pak přímky $y=\gamma, x=-\beta$ ." ?

díky za pomoc

BakyX · 19. 02. 2011 16:41

↑ byk7:

Ahoj..

Vyjadri si neznáme v sústave rovníc pomocou "a" (b, c, d) a dosaď do $f(x):=\frac{ax+b}{cx+d}$

Po úprave uvidíš koeficienty :)

Pavel Brožek · 19. 02. 2011 16:46

↑ byk7:

K dotazu 2: máš nějaké požadavky na a, b, c a d? Pokud ne, tak nejde, protipříkladem je c=0.

byk7 · 19. 02. 2011 16:46 — Editoval byk7 (19. 02. 2011 16:47)

↑ BakyX:

mně ale jde o to, že těch funkcí je nekonečně mnoho, ne?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=so … 3D6c%2B2d}

↑ Pavel Brožek:

ale když c=0, je to obyčejná lineární funkce

Pavel Brožek · 19. 02. 2011 16:47

↑ byk7:

Uvědom si, že $\frac{x+1}{2x+1}=\frac{2x+2}{4x+2}$ a podobně pro tu tvoji funkci.

byk7 · 19. 02. 2011 16:48

↑ Pavel Brožek:

ach jo, tak potom jo, díky :)

BakyX · 19. 02. 2011 16:49

↑ byk7:

Podľa mňa sú riešenia 2:

$f(x):=\frac{7x-13}{3x-5}$
$f(x):=\frac{-7x+13}{-3x+5}$

Pavel Brožek · 19. 02. 2011 16:53

↑ BakyX:

A čím se liší? :-) (Uveď alespoň jednu hodnotu x, v které se liší.)

↑ byk7:

Pokud máme opravdovou lineární lomenou funkci, kde $c\ne0$ a $ad-bc\ne0$ , pak je to pravda, o čemž se můžeš snadno přesvědčit:

$\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{\frac ac(cx+d)-\frac ac\cdot d+b}{cx+d}=\frac ac+\frac{-\frac ac\cdot d+b}{cx+d}$

BakyX · 19. 02. 2011 18:29

↑ Pavel Brožek:

Nelíšia sa nijako..Ja len chcem ukázať, že sú rovnaké ale majú rôzne koeficienty. Existuje nekonečne veľa rovnakých funkcií, pre ktoré platí hore uvedené, avšak majú rôzne koeficienty. V zadaní sa pýtajú na koeficienty.

zdenek1 · 19. 02. 2011 18:46

↑ BakyX:
Ne, to říkáš špatně. Existuje jediná taková lomená lineární fce, která se dá napsat různými způsoby.

BakyX · 19. 02. 2011 19:11

↑ zdenek1:

Tak potom ako vedieť, že ktorý z tých rôznych spôsobom je ten správny ?

zdenek1 · 19. 02. 2011 19:17

↑ BakyX:
Která z odpovědí je správně?
Řešení rovnice $2x=1$ je
$a)\ x=0,5$
$b)\ x=\frac12$
$c)\ x=\sin\frac\pi6$
$d)\ x=\log\sqrt{10}$

BakyX · 19. 02. 2011 19:20

↑ zdenek1:

Aha..Takže tým chceš povedať, že koeficient "a" je vlastne ľubovoľné reálne číslo ?

zdenek1

↑ BakyX:
Ne úplně libovloné, jsou tam nějaké podmínky, které uvedl Pavel. Ale až na tyto podmínky ANO.

Edit: ALe stejně jako v mém příkladě, kde si normální člověk vybere při řešení rovnice první nebo druhý zápis, i u té funkce si koeficinty vybere co nejmenší a zkrácené.

Matematické Fórum

#1 19. 02. 2011 16:34

Lomená lineární funkce

#2 19. 02. 2011 16:41

Re: Lomená lineární funkce

#3 19. 02. 2011 16:46

Re: Lomená lineární funkce

#4 19. 02. 2011 16:46 — Editoval byk7 (19. 02. 2011 16:47)

Re: Lomená lineární funkce

#5 19. 02. 2011 16:47

Re: Lomená lineární funkce

#6 19. 02. 2011 16:48

Re: Lomená lineární funkce

#7 19. 02. 2011 16:49

Re: Lomená lineární funkce

#8 19. 02. 2011 16:53

Re: Lomená lineární funkce

#9 19. 02. 2011 18:29

Re: Lomená lineární funkce

#10 19. 02. 2011 18:46

Re: Lomená lineární funkce

#11 19. 02. 2011 19:11

Re: Lomená lineární funkce

#12 19. 02. 2011 19:17

Re: Lomená lineární funkce

#13 19. 02. 2011 19:20

Re: Lomená lineární funkce

#14 19. 02. 2011 19:23 — Editoval zdenek1 (19. 02. 2011 19:26)

Re: Lomená lineární funkce

Zápatí