Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 28. 02. 2011 20:20
Kombinatorika
Dobrý deň, mam problém s jedným príkladom. neviem či ho mám správne:
Mám balíček s 52 kartami , karty máju 4 farby a v každej farbe sú hodnoty 2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A.
Otázka: Koľko rôznych 5-kartových postupiek môžem vytvoriť tak aby v každej postupke bola každá farba aspoň raz?
Nie je to nijak zložitý príklad, ale stále sa nemôžem dopracovať k správnemu výsledku.
Ďakujem.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) jelena)
#2 28. 02. 2011 22:14
Re: Kombinatorika
↑ Danndy:
Postup by mohol byt napriklad takyto: uvazujme najprv jednu konkretnu postupku (napr. 2, 3, 4, 5, 6) a skusme vypocitat, kolko takych istych postupiek mozme vytvorit vsetkymi kombinaciami farieb, ktore splnaju zadanu podmienku. Potom je jasne, ze aj pre postupku 3, 4, 5, 6, 7 je tolko istych moznosti atd.
Takze druha cast (jednoduchsia) ulohy je spocitat, kolko takychto postupiek mame. Tu si ale myslim, ze to nie je uplne jednoznacne, pretoze zo zadania priamo nevyplyva, ci napriklad aj A, 2, 3, 4, 5 alebo Q, K, A, 1, 2 sa tiez povazuju za postupky.
Skus sa teda najprv sustredit na tu prvu cast ulohy :)
Offline
#3 28. 02. 2011 22:19 — Editoval claudia (28. 02. 2011 22:42)
Re: Kombinatorika
Tak různých postupek, pokud jde o hodnoty je asi deset (co já vím o kartách? :-)
A,2,3,4,5
2,3,4,5,6
...
10,J,Q,K,A
Každá z nich pak může být různě obarvena. Počet obarvení bych spočítala principem inkluze a exkluze(?). Počet obarvení nejvýše čtyřmi barvami je 4^5. Pak dokážeme ještě spočítat počet obarvení nejvýše třemi, nejvýše dvěma a jednou barvou. Z PIE pak získáme počet obarvení právě čtyřmi barvami. (EDIT: Zdá se mi, že by mohlo fungovat definovat v PIE množiny 
jako "v obarvení chybí barva i", pak průniky spočítáme snadno a sjednocením je počet obarvení, kde chybí alespoň jedna barva. A známe počet všech a chceme ta, kde žádná nechybí.)
(Kdyby se to někomu nezdálo, prosím o opravení, kombinatorika je zrádná.)
Offline
#4 28. 02. 2011 22:41
Re: Kombinatorika
Ďakujem Vám za vaše odpovede.
Uvažujem teda že mám postupky :
2,3,4,5,6
3,4,5,6,7
. . . . .
10,J,Q,K,A
Teda mám rôznych 9 postupiek vzhľadom na hodnotu karty (mikee, doplnim zadanie: A, 2, 3, 4, 5 alebo Q, K, A, 1, 2 nerátame ako postupky). Zvolil som postup ako poradil mikee: Zobral som si jednu konkrétnu postupnosť (napr. 2,3,4,5,6).
V tejto postupke budem už len meniť farby jednotlivých kariet, tak aby to vyhovovalo zadaniu. Ďaľej som si zadal že budem mať 2x srdcovú kartu a z ostatných farieb po 1 farbe. Takýchto možnosti je: 5!/2!*1!*1!*1! = 5!/2! = 60 . Tak isto budem postupovať keď si zadám že mam v danej pätici 2x listovú kartu,2x žaluďovú kartu a 2x pikovú kartu. -> 60 * 4 = 240 rôznych možnosti pre jednu postupku -> 240*9 = 2160 - všetkých možností.
Je ten postup a výpočet správny ?
Offline
#5 28. 02. 2011 22:44
Re: Kombinatorika
↑ claudia:
Myslim, ze by sa to mohlo dat aj tak, ze si uvedomime, ze ak ma byt kazda farba zastupena aspon raz, tak je jedina moznost, a to taka, ze tri farby budu kazda po jednom a jedna farba bude zastupena dvakrat.
Ak je teda napriklad cervena dvakrat, tak tych moznosti ofarbenia je zrejme 
. No a kedze farby mame 4 a kazda z nich by mohla byt dvakrat, tak celkovy pocet farebnych kombinacii jednej postupky mi vychadza 60.4 = 240.
Samozrejme tiez chcem zdoraznit, ze v tejto mojej uvahe moze byt chyba, takze bolo by zaujimave to vypocitat aj cez PIE a porovnat :)
Offline
#6 28. 02. 2011 22:46
Re: Kombinatorika
↑ Danndy:
Ano, tak sme sa zhodli v rieseni, super :) Myslim, ze by to mohlo byt spravne.
Offline
#7 28. 02. 2011 22:51
Re: Kombinatorika
Když jsem to počítala přes PIE, vyšlo mi rovněž 240=4^5-(4*3^5-6*2^5+4). Nicméně uznávám, že je to zde asi letadlová loď na vrabce :-)
Offline
#8 28. 02. 2011 23:07 — Editoval Danndy (28. 02. 2011 23:10)
Re: Kombinatorika
↑ mikee:
Zhodli :) Ale keď som to skúšal prepočítať, ako písala claudia , že si vypočítam koľko je možnosti zafarbenia najviac jednou, dvoma a troma farbami a odpočítam to od možnosti zafarbenia štyrmi farbami, tak mi to nesedí:
4-farbami: 4^5 = 1024
3-farbami: 3^5 = 243
2-farbami: 2^5 = 32
1-farbou: 1^5 = 1
Takže od množiny všetkých možných zafarbení 5-tich kariet odpočítam tie zafarbenia kde som použil len jednu, dve, alebo len tri farby --> 1024 - (243+32+1) = 748 možnosti zafarbenia jednej postupky. 748*9 = 6732 celkovo.
Ak je v tomto výpočte alebo postupe chyba, prosím opravte ma. Ďakujem
*claudia, vidim že si to počítala tiež týmto spôsobom a úspešnejsie, môžeš mi prosím odvodiť ten výpočet? Zjavne som to zle pochopil.
Offline
#9 28. 02. 2011 23:09 — Editoval claudia (28. 02. 2011 23:10)
Re: Kombinatorika
↑ Danndy: Ano, když ti chybí jedna barva, může to být jedna ze čtyř různých. Když ti chybí dvě, je 
variant, atd. (viz můj výpočet). Navíc máš špatně znaménka, dle principu inkluze a exkluze se musí střídat + a -.
Offline