#1 28. 02. 2011 19:50
Spojité funkce
1) f(x)=signum(x); g(x)=x(1-x^2). Úkolem je najít kde jsou funkce FoG(F po g) a GoF spojité.
a) FoG=sgn(x(1-x^2))
Nakreslil jsem si graf: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sg … -x^2%29%29 . Výsledek: Funkce je nespojitá, protože nemá limitu v 0. D(f)=R{0}
b) GoF=sgn(x)*(1-sgn(x)^2)
Zde jsem zjistil, že ať dosadím za "x" cokoliv, vždycky výjde 0. Tzn. že funkce je spojitá pro všechna R tzn. D(f)=R
Chci se zeptat, zda je řešení správné.
Offline
#2 28. 02. 2011 19:57 — Editoval claudia (28. 02. 2011 19:59)
Re: Spojité funkce
ad a) Pokud dotaz zní, kde je funkce spojitá, je sice konstatování, že v 0 spojitá není, správné, ale zbývá říci, kde spojitá je. A to "D(f)=R{0}" má značit co?
ad b) Být vyučující, ráda bych zdůvodnění, proč je funkce konstatní (rozdělením na případy x<0, x=0, x>0). Že je konstatní funkce spojitá, je pravda.
Offline
#4 28. 02. 2011 22:13 — Editoval claudia (28. 02. 2011 22:13)
Re: Spojité funkce
a) ne, zkus se podívat na jednostranné limity v bodech x=+-1 (zdůvodnit řešením nerovnice x(1-x^2)>0, resp. rovnosti x(1-x^2)=0)
b) to je začátek, dodat, co z toho plyne pro funkční hodnoty složené funkce
Mimochodem, výsledek nestačí uhodnout, výsledek je třeba dokázat :-)
Offline
#5 01. 03. 2011 10:28
Re: Spojité funkce
a)Takže vyšetřil jsem limity pro 1 a -1 zprava i zleva. Pro: 1+ vyšla limita -1. Pro 1- vyšla 1. Pro -1+ vyšla -1. Pro -1- vyšla limita 1. Tzn. že Limita není v bodech 1 a -1 a 0 na Y-ose. To znamená, že tam není teda spojitá? Takže bych řekl, že spojitá je od (-nekoneč ; -1) a (1 ; nekoneč.)
b)Pro limity x>0, x<0 a x=0 výjde vždycky limita dané funkce (sgn(x)*(1-sgn(x)^2)) 0.
Offline
#6 01. 03. 2011 11:47
Re: Spojité funkce
↑ Tomaskocz:
Máme dány funkce F(x)=sgn(x); G(x)=x(1-x^2).
Případ b) máš správně. Funkce GoF(x)=sgn(x)*(1-sgn(x)^2) je konstantně rovna 0 v celém R, tedy je spojitá tamtéž.
Případ a) je o něco složitější, nicméně není nutno jít až na limity:
Jediným bodem nespojitosti funkce F = sgn je 0, funkce G je spojitá v celém R, takže podle věty o spojitosti složené funkce platí,
že jedinými kandidáty na body nespojitosti funkce FoG(x) jsou ony body x, v nichž G(x) = 0 , což jsou právě body
(1) 
.
Pro libovolný bod (1) zřejmě dále platí:
(2) FoG(w) = 0 ,
(3) pro každé x splňující 0 <|x - w| < 1 je |FoG(x)| = 1 .
Z (2) a (3) plyne, že bod w je bodem nespojitosti funkce FoG.
Offline