Matematické Fórum

jira · 01. 03. 2011 22:16

Potřeboval bych poradit s následujicí úlohou:

Myslel jsem, že bych měl použít vzorce pro odchylku vektorů, ale nevychází mi to.

zdenek1 · 01. 03. 2011 23:52

↑ jira:
Nevím, jestli je to nejjednodušší postup, ale funguje.
Přímka $p$ má rovnici $p:y=ax+4$ a přímka $q:y=b(x-5)$ , kde $a,b\neq1$ . (aby nebyly rovnoběžné s $o$ )
Typo přímky se protínají v bodě $P$ , jehož souřadnice dostaneme řešením rovnice $ax+4=b(x-5)$ .
$P\left[\frac{4+5b}{b-a};\frac{b(5a+4)}{b-a}\right]$ , $a\neq b$ (1)
Tento bod musí ležet na ose $o$ , tj. musí splňovat rovnici
$2\frac{4+5b}{b-a}-2\frac{b(5a+4)}{b-a}+1=0$
Po úpravě dostaneme podmínku
$3b-a-10ab+8=0$ (2)

Když si přímky vyjádříme v obecném tvaru
$p:ax-y+4=0$
$q:bx-y-5b=0$
můžeme vypočítat jaké úhly svírají s osou $o$ (tyto úhly se musí rovnat)
$\cos\varphi_p=\frac{2a+2}{\sqrt{a^2+1}\cdot2\sqrt2}$
$\cos\varphi_q=\frac{2b+2}{\sqrt{b^2+1}\cdot2\sqrt2}$
$\frac{2a+2}{\sqrt{a^2+1}\cdot2\sqrt2}=\frac{2b+2}{\sqrt{b^2+1}\cdot2\sqrt2}$
Toto je triviálně splněno pro $a=b$ , ale to odporuje podmínce (1), takže potřebujeme jiné řešení. Umocníme, zkrátíme a odstraníme zlomky
$(a+1)^2(b^2+1)=(b+1)^2(a^2+1)$
po zjednodušení dostaneme
$(ab-1)(a-b)=0$ , takže $ab=1$ dosadíme do rovnice (2)
$\frac3a+a-2=0$
$a^2+2a-3=0$
$(a+3)(a-1)=0$
řešení $a=1$ nevyhovuje. $a=-3$ , $b=-\frac13$
$p:y=-3x+4$ , $q:y=-\frac13(x-5)$