Matematické Fórum

Saturday · 23. 10. 2007 21:02

Pro která přirozená čísla n je pravda, že jejich zápis v desítkové soustavě má $\lceil \log n \rceil$ číslic (logaritmus o základu 10).

Vymyslel jsem vlastní řešení, ale nevím, jestli není nějaké lepší a "matematičtější":

1) $10^{0,5} = 3.16227766$ a vím, že pokud bude jednociferné číslo větší než 3.16227766 (tj. 4, 5, 6, ..., 9) pak budou mít $\lceil \log n \rceil$ cifer
2) $10^{1,5} = 31.6227766$ a vím, že pokud bude dvojciferné číslo větší než 31.6227766 (tj. 32, 33, 34, ..., 99) pak budou mít $\lceil \log n \rceil$ cifer
...
...

stačí si tedy posunovat desetinnou čárku v čísle: 3.16227766 a pak si jen zapsat cisla, ktera jsou vyssi nez toto cislo a ktera neprekroci do dalsiho radu (z desitek do stovek, ze stovek do tisicu ...)

Neví někdo o lepším řešení?
Děkuju

Kondr · 24. 10. 2007 00:13

Uvažme čísla x z množiny $\{10^n+1,10^n+2,...,10^{n+1}-1\}$ , kde n je nezáporné celé číslo. Pro ně platí, že
$n<log(x)<n+1$ , proto
$\lceil log(x)\rceil=n+1$ . Kolik mají tato čísla cifer? To by mělo být snadné určit, a tím máme polovinu otázky za sebou.
Zbývá nám ještě rozhodnout, jak je to s mocninami desítky (počínaje 10^0), což také není těžké.
Kdyby tato nápověda nestačila, tak možná někdy přidám další (v nejbližší době asi nebudu mít přístup k netu).

PS: asi bylo dobré vysvětlit, že $\lceil log(x)\rceil$ je logaritmus zaokrouhlený nahoru.

Saturday

(a) Pro dané číslo x platí, že má n+1 cifer

(b) mocniny desítek: 10^n pro n>=0 mají také n+1, tudíž mezi hledaná čísla nepatří protože: $\lceil \log{10^n} \rceil = n$

Trochu odbocka:

Kolik má cifer číslo 10^n? Odpoved je n+1

Jediny (pseudo)dukaz, na ktery jsem prisel je rozepsáním 10^n, tedy sectenim řádů:

1 * 10^n + 1 * 10^(n-1) + ... + 1 * 10^1 + 1 * 10^0 -> řády: 0, 1, 2, ..., n = n + 1 řádů

což by se dalo dokázat matematickou indukcí.

Nevíte někdo o seriozním důkazu?

Kondr · 01. 11. 2007 12:40

To, že číslo 10^n má n+1 cifer plyne z toho, že cifra čísla m na řádu n je definovaná jako $\left\lfloor\frac{m}{10^n}\right\rfloor\pmod{10}$ , což je 1, 10^n má proto nenulovou cifru na řádu n a má n+1 cifer.

Matematické Fórum

#1 23. 10. 2007 21:02

Příklad na horní a dolní meze

#2 24. 10. 2007 00:13

Re: Příklad na horní a dolní meze

#3 24. 10. 2007 17:36 — Editoval Saturday (24. 10. 2007 17:38)

Re: Příklad na horní a dolní meze

#4 01. 11. 2007 12:40

Re: Příklad na horní a dolní meze

Zápatí