Matematické Fórum

pizet · 01. 03. 2011 21:02 — Editoval pizet (01. 03. 2011 21:03)

Ahojte,

zase mi niečo nevie napadnúť. Ak máme lichobežník ABCD so stranami |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |DA| = d. Ako dostaneme, že pre uhlopriečky AC = $u_1$ , BD = $u_2$ , platí:

$u_1 = \sqrt{\frac{ca^2-c^2a-cd^2+ab^2}{a-c}}\\ u_2 = \sqrt{\frac{ca^2-c^2a-cb^2+ad^2}{a-c}}$ ?

pizet · 01. 03. 2011 21:26 — Editoval pizet (01. 03. 2011 21:26)

↑ pizet: Priesečník uhlopriečok označíme S. Trojuholníky ABS a CSD sú podobné podľa vety uu. Obsahy trojuholníkov ASD a BSC sú rovnaké. Toto som zatiaľ vypozoroval.

pizet · 01. 03. 2011 22:04

↑ pizet: Tu http://mathworld.wolfram.com/Trapezoid.html je o tom niečo (ináč sú označené strany), lenže je tom tam uvedené ako obyčajný fakt a nijak odvodené. Za pomoc pri odvodení vopred ďakujem.

jelena · 03. 03. 2011 11:47

↑ pizet:

Zdravím,

obdobný problém řeší kolega jira. Podle doporučeného postupu se mi to nepodařilo odvodit. Našla jsem materiál, ve kterém se to dokazuje pomocí vektorů.

jira · 03. 03. 2011 16:51

↑ jelena:

Zdravim, nakonec jsem to odvodil, dam sem postup, jestli to nekde najdu.

Dana1 · 03. 03. 2011 17:04

↑ jira:

Nájdi to, prosím...

jira · 03. 03. 2011 17:51 — Editoval jira (03. 03. 2011 18:00)

No, nejprve se podle kosinové věty vyjádřily úhlopříčky:

$e^2 = a^2 +b^2 - 2ab \cos \alpha \nl f^2 = a^2 + d^2 - 2ad \cos \beta \nl e^2 + f^2 = a^2 +b^2 - 2ab \cos\alpha + a^2 + d^2 - 2ad \cos\beta$

Po úpravě: $e^2 + f^2 = b^2 + d^2 + 2a(a - b \cos\alpha - d \cos\beta)$

Teď použitím té věty o průmětech dokážeme, že $a - b \cos\alpha - d \cos\beta = c$ .

Věta o průmětech: $c = b\cos\alpha + a \cos\beta$

V trojúhelníku tvořeném ramenem lichoběžníku, výškou lichoběžníku a částí základny, pak dostaneme větou o průmětech žádaný výsledek.

P.S.
Rekonstruoval jsem to teď narychlo, tak tam snad není vyložená "bota".

Dana1 · 03. 03. 2011 17:58

↑ jira:

Veľmi pekne ďakujem.

jelena · 03. 03. 2011 23:50

↑ jira:

Děkuji velmi,

nedošla jsem dál, než k součtu čtverců úhlopříček. Nedošlo mi, že ve větě pro trojúhelník $c = b\cos\alpha + a \cos\beta$ je a, b, c něco jiného, než v označení pro lichoběžník.

Děkuji a zdravím.

Matematické Fórum

#1 01. 03. 2011 21:02 — Editoval pizet (01. 03. 2011 21:03)

Uhlopriečky lichobežníka.

#2 01. 03. 2011 21:26 — Editoval pizet (01. 03. 2011 21:26)

Re: Uhlopriečky lichobežníka.

#3 01. 03. 2011 22:04

Re: Uhlopriečky lichobežníka.

#4 03. 03. 2011 11:47

Re: Uhlopriečky lichobežníka.

#5 03. 03. 2011 16:51

Re: Uhlopriečky lichobežníka.

#6 03. 03. 2011 17:04

Re: Uhlopriečky lichobežníka.

#7 03. 03. 2011 17:51 — Editoval jira (03. 03. 2011 18:00)

Re: Uhlopriečky lichobežníka.

#8 03. 03. 2011 17:58

Re: Uhlopriečky lichobežníka.

#9 03. 03. 2011 23:50

Re: Uhlopriečky lichobežníka.

Zápatí