Matematické Fórum

plisna · 23. 05. 2008 18:44

zdravim vsechny. zajimalo by me, jestli nekoho nenapada JEDNODUSSI postup reseni integralu $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin x \cos^3 x}$ . Me napada rozsirit citatel i jmenovatel vyrazem $\sin x$ a zavest substituci $\cos x = t$ , takze se integral transformuje na $- \int \frac{\mathrm{d}t}{t^3(1-t^2)}$ , coz vede na "pracny" rozklad na 5 parcialnich zlomku. nenapada nekoho elegantnejsi reseni?

robert.marik

substituce tan(x)=t to prevede na (t^2+1)/t

ale jestli to je jednodussi nevim, tuhle substituci clovek zkousi asi az jako treti v poradi a nedela se zrovna nejlip....

plisna · 23. 05. 2008 18:55

no to je prave ono - vysledny integrand je krasny a jednoduchy, ale upravit to, to je celkem fuska.

robert.marik · 23. 05. 2008 19:00

jeste me napada: rozsirit vyrazem sin^2(x)

v citateli pouzit sin^2(x)=(1-cos(2x))/2
ve jmenovateli sin^3(x)*cos^3(x)=1/8 * sin^3(2x)

potom substituce cos(2x)=t a bude se rozkladat 1/((t-1)*(t+1)^2) - az na konstantni nasobek

takze jsme si usetrili par clenu ve jmenovateli, ale zase to rozhodne nebylo zadarmo.

ale treba se jeste ozve nekdo duvtipnejsi :)

robert.marik · 23. 05. 2008 19:04

↑ robert.marik:
anebo jeste lepe: sin(x)*cos^3(x)=1/4 * sin(2x) * (1+cos(2x))

takze integrujeme 4 / ( sin(2x)*( 1+cos(2x) ) ) a vychazi to tak jak pisu v predchozim prispevku, kde jsem na to sel zbytecne slozite.

plisna · 23. 05. 2008 19:10

diky roberte!

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2008 18:44

integral R(sin x, cos x)

#2 23. 05. 2008 18:47 — Editoval robert.marik (23. 05. 2008 18:48)

Re: integral R(sin x, cos x)

#3 23. 05. 2008 18:55

Re: integral R(sin x, cos x)

#4 23. 05. 2008 19:00

Re: integral R(sin x, cos x)

#5 23. 05. 2008 19:04

Re: integral R(sin x, cos x)

#6 23. 05. 2008 19:10

Re: integral R(sin x, cos x)

Zápatí