Matematické Fórum

renda · 24. 05. 2008 09:45

Achoj potřeboval bych pomoct s pár příklady u kterých už nevím jak dál...V pondělí píšu velkou pisemku asi výběr asi z 50 příkladu potřebuju nutně pomoct:

a). Součet prvních osmi členů aritmetické posloupnosti celých čísel je 100, znásobímeli osmý člen součtem všech předcházejících členů, obdržíme číslo 1771.Určete tuto posloupnost.

b). V aritmetické posloupnosti 30,27,24...najděte člen, který se rovná osmině součtu všech předcházeících členů.

c). V pětičlenné aritmetické posloupnosti je součin druhého a čtvrtého členu roven osmi pětinám součinu krajních členů. Součet druhých mocnin všech členů je 220.Určete tuto posloupnost.
díky za pomoc

ttopi · 24. 05. 2008 09:58

a)
$(100-x)\cdot x=1771 \nl 100x-x^2=1771 \nl x^2-100x+1771=0 \nl D=54 \nl x_1=77 , x_2=23 ... a_8=23 \nl 100=4\cdot (a_1+23) \rightarrow a_1=2$ podle vzorce pro součet n členů
$2+7d=23 \nl d=3$

Chápeš postup?

ttopi · 24. 05. 2008 10:06

U toho c) jsem jaksi vypátral, že $a_1=2 , d=2$ ale to byl pokus omyl, jinak nevím jak na to, ještě se zamyslím :-)

Olin · 24. 05. 2008 10:07 — Editoval Olin (24. 05. 2008 10:13)

a)
Použijeme vzorec
$s_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\nl s_8 = \frac{8(a_1 + a_8)}{2}$

Dosadíme:
$100 = \frac{8(a_1 + a_8)}{2}$

Dále platí
$a_8 \cdot s_7 = 1771$

Zřejmě platí
$s_7 = s_8 - a_8 = 100 - a_8$

Po dosazení:
$a_8 \cdot (100 - a_8) = 1771\nl a_8^2 - 100 a_8 + 1771 = 0\nl (a_8 - 23)(a_8 - 77) = 0\nl a_{8, 1} = 23, \, a_{8, 2} = 77$

Rozebereme oba případy.

1)
$a_8 = 23$

Potom
$100 = \frac{8(a_1 + 23)}{2}\nl a_1 = 2$

Odtud už snadno určíme, že posloupnost je dána předpisem
$a_n = 3n - 1$

2)
$a_8 = 77$

Analogicky k předchozímu docházíme k závěru
$a_1 = -52$

Odtud pak
$a_n = \frac{129}{7}n - \frac{493}{7}$
což ale nevyhovuje zadání, protože to není posloupnost celých čísel.

halogan · 24. 05. 2008 10:10

b)
$a_1 = 30 \nl d = -3 \nl \frac{s_n}{8} = a_{n+1}$

to uz dopocitas.

jelena · 24. 05. 2008 10:40

↑ ttopi:

Zdravim :-)

je potreba vybrat vhodny clen posloupnosti, ktery budeme povazovat za neznamy. OK?

ttopi · 24. 05. 2008 10:49

↑ jelena:
Ahoj:-)
Dobře, díky. Ale spíš by potřeboval poradit kolega, který to řeší :-)

jelena · 24. 05. 2008 10:55

↑ ttopi:

Kolegovi bych to napsala kompletne :-)

renda · 24. 05. 2008 12:25

to by bylo dobrý kdyby si mi to napsala kompletně:-)...jinak díky ostatním za pomoc:-)

jelena · 24. 05. 2008 12:46

↑ renda:

oznacim treti clen za x, pak predchozi - druhy je x-d, prvni x-2d. Nasledujici - ctvrty x+d, paty x+2d. OK?

PS. Nechtela jsem kolegovi ↑ ttopi: prekazet plany po ranu - rikal, ze ma v planu "zamyslit".

renda · 24. 05. 2008 12:53

↑ jelena:
jej tak to moc nechapu:-(

jelena · 24. 05. 2008 13:53

↑ renda:

To je standardne-polopaticky postup, ktery se da dobre pouzit u aritmeticke a u geometricke poloupnosti.

Pokud mam lichy pocet clenu, tak se postavim doprostred teto rady a tento clen beru jako neznamy. Cleny s vetsimi poradovymi misty (koeficienty) vznikaji pricitanim d (pro geometrickou - nasobenim q), s mensimi odecitanim (delenim q). Hodi se to pri dalsich upravach. je to lepsi, nez pouzit a1, a2, a3 .....vyjadrene pres a1 a d.

Rikej tomu treba a_3=x.

OK?

renda · 24. 05. 2008 14:09

↑ jelena:
o.k.diky

Julo88 · 08. 08. 2009 15:18

a_1+a_2+a_3=12,6
a_6-a_5-a_4=-5,7

stou dolni radou si nevim rady! potrebuji to co nejdriv pls

jelena · 08. 08. 2009 15:35 — Editoval jelena (08. 08. 2009 15:39)

↑ Julo88:

dle předchozích doporučení o "pozici uprostřed":

$a_2-d+a_2+a_2+d=12.6\nl a_5+d-a_5-(a_5-d)=-5.7$

a použit $a_5=a_2+3d$

OK?

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2008 09:45

Aritmetická posloupnost

#2 24. 05. 2008 09:58

Re: Aritmetická posloupnost

#3 24. 05. 2008 10:06

Re: Aritmetická posloupnost

#4 24. 05. 2008 10:07 — Editoval Olin (24. 05. 2008 10:13)

Re: Aritmetická posloupnost

#5 24. 05. 2008 10:10

Re: Aritmetická posloupnost

#6 24. 05. 2008 10:40

Re: Aritmetická posloupnost

#7 24. 05. 2008 10:49

Re: Aritmetická posloupnost

#8 24. 05. 2008 10:55

Re: Aritmetická posloupnost

#9 24. 05. 2008 12:25

Re: Aritmetická posloupnost

#10 24. 05. 2008 12:46

Re: Aritmetická posloupnost

#11 24. 05. 2008 12:53

Re: Aritmetická posloupnost

#12 24. 05. 2008 13:53

Re: Aritmetická posloupnost

#13 24. 05. 2008 14:09

Re: Aritmetická posloupnost

#14 08. 08. 2009 15:18

Re: Aritmetická posloupnost

#15 08. 08. 2009 15:35 — Editoval jelena (08. 08. 2009 15:39)

Re: Aritmetická posloupnost

Zápatí