Matematické Fórum

I důkaz pomocí analytické geometrie je důkazem, pokud je správně, samozřejmě.

Jinou možností by bylo pojmout důkaz "synteticky", tj. bez použití AG.
Situace se odehrává" v obdélníku ACGE se stranami  |AE| = a  = délka hrany krychle,  |AC| =  sqrt(2)*a .
Body C, E  jsou stejnolehlé podle středu M  -  stačí zjistit koeficient této stejnolehlosti, k čemuž nám pomůže jistá dvojice
stejnolehlých trojúhelnílů.

Odpověď na otázku, který typ důkazu je od učitele očekáván,  by mohla záviset i na látce, kterou aktuálně probíráte.

↑ jira:
Ta stejnojehlost se dá interpretovat vektorově.

↑ jira:
Stejnolehlost  o středu M a koeficientu  k <> 0  je zobrazení,  které bodu  X  přiřadí bod Y  tak, aby byla splněna rovnice

(1)                         Y - M  = k*(X - M) .

Její levá a pravá strana jsou vektory.
Jestliže X <> M , pak  bod Y  leží na přímce, která prochází bodem M a jejíž směrový vektor je X - M.

Skrze tu stejnolehlost je do úlohy lépe vidět, ale není podstatná.

EDIT:  Měl bych ještě doplnit, že jsou-li A, B body v prostoru , potom  je totéž, co .

I když ten obrázek není správně metricky (čtyřúhelník ACGE ve skutečnosti není čtverec), ostatní úvahy a řešení už správné jsou.

Řešení, které napadlo mne, je založeno na faktu, že trojúhelník MAC je podobný s trojúh. MXE (třeba podle věty uu) , při čemž |AC| = 2|EX|.
Nutně proto |MC| = 2|ME|.   
Ta stejnolehlost je v tom tak, že

                              C - M  = k (E - M) ,
                              A - M  = k (X - M) ,

tyto rovnice odečteme a tím dostaneme   C - A  = k (E - X)  , z definice bodu X je zřejmé, že k = -2 , tedy C - M  = -2 (E - M) ,
odtud |MC| = 2|ME|.

↑ jira:

Je to správně (a mělo by to projít) až na jednu nepodařenou formulaci:

Místo věty "Trojúhelník AGC je shodným zobrazením podle S " mělo být řečeno

(X)           "Trojúhelník AGC je obrazem trojúhelníka GAE při středové souměrnosti podle S " .

I když z původní formulace lze pochopit myšlenku, věcně je to špatně.
Zobrazení není ten trojúhelník, ale ta středová suměrnost.

Mimochodem: středová souměrnost je zvláštní případ stejnolehlosti,  když  k = -1
(viz ↑ Rumburak:).

EDIT . Ještě jsem tu opravil jeden svůj překlep ve větě (X) pokud jde o orientaci trojúh. GAE.
Nyní je to správně.  Omlouvám se.