Matematické Fórum

xsys · 06. 03. 2011 19:37 — Editoval xsys (07. 03. 2011 10:41)

Ahoj, mam problém s touto úlohou z Demidovice:
Pro $n \in \mathbb{N}, x_{k} \in [0, \pi] : |\sin \sum_{k=1}^{n} x_{k}| \le \sum_{k=1}^{n} \sin x_{k}$ Dokažte matematickou indukcí. Nevím úplně jak na to. Zkoušel jsem využít toho, že sin je omezená, jenže ta suma na pravé straně může být pro některé případy také menší než jedna. Ať jsem zkusil cokoliv, vždycky jsem se zasekl na tomhle.

OiBobik · 06. 03. 2011 20:56

Já bych na to šel asi takhle:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

xsys · 07. 03. 2011 07:53

Díky za radu. Zkusím si to přes oběd rozmyslet a najít nějaký ten indukční krok. Já jsem přes noc zjistil, že ani tak nemám problém udělat ten důkaz indukcí, jako dokázat samotnou tu nerovnost obecně, tj. udělat úplnou indukci. Něco jsem přes noc zkoušel s přepsaním té sumy xi jako (d Pi + z), kde d je z N a z je nějaký zbytek menší než Pi. Ale z toho jsem se zatím moc daleko nedostal.

Pavel · 07. 03. 2011 10:17

↑ xsys:

Doporučuji použít tzv. Jensenovu nerovnost. sin x je funkce konkávní na intervalu [0,pi].

http://cs.wikipedia.org/wiki/Jensenova_nerovnost

xsys · 07. 03. 2011 10:50 — Editoval xsys (07. 03. 2011 10:50)

Ráno jsem zapomněl napsat, že ta pravá strana nerovnosti je v absolutní hodnotě.

Ad Jensenova nerovnost: nevím úplně jak volit $\lambda_{i}$ , abych z toho dostal tu sumu sinů, když $\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1$ . Třeba na to během oběda přijdu.

Ale asi by měl existovat nějaký jednodušší způsob, když to má Zajíček uvedeno v první kapitole své sbírky úloh, kde by podle mě měla být nutná jen znalost učiva ze střední školy + nějaký úvod, který se dá stihnout v prvních dvou týdnech na vysoké. Prý to zadával jako úlohy na cvičeních a tahle úloha má číslo 2, takže bych ji viděl jako opakovací úlohu v prvním týdnu. Jensenova nerovnost mi nějak nesedí ani do středoškolského učiva ani do úvodu v prvním týdnu na vysoké.