Matematické Fórum

meggie · 06. 03. 2011 23:12

Připravuji se na zkoušku a zjišťuji, že mám velkou mezeru co se týče asymptot v tom smyslu, když se tam objeví arctg atd. Vím jak přesně počítat asymptotu se směrnicí i bez směrnice, ale jakmile se tam objeví toto, nevím jak dál.
Např. mám určit asymptoty funkce y=(1/2)x + arctg x
vím, že bez směrnice neexistuje, jelikož funkce je spojitá na R, ale se směrnicí:
-počítám k a zaseknu se u toho, když celý výraz mám vydělit x... prostě nevím jak dál..
Pokud je tu nějaká hodná duše, budu vám moc vděčná!!!

OiBobik

↑ meggie:

No tak např. směrnice asymptoty v $+ \infty$ : (dejme tomu, že tvar hledané rovnice přímky je $y=ax+b$

$a= \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac x 2 + arctgx}{x}=\frac 1 2+\lim_{x \to \infty}\frac{arctgx}{x}$ (zatím využita jen aritmetika limit), Dále:
$\lim_{x \to \infty}\frac{arctgx}{x}=0$ (stačí si uvědomit, že fce arctg x je omezená a limita fce 1/x je nulová, limita jejich součinu je tedy nula),
takže už máme $a=\frac 1 2$
Teď ještě b:
$b= \lim_{x \to \infty} f(x)-ax = \lim_{x \to \infty}\frac x 2 + arctgx - \frac x 2 =\lim_{x \to \infty}arctgx=\frac \pi 2$
takže
$as_{+\infty}(f): y=\frac x 2 + \frac \pi 2$

Analogicky si pak spočítáš asymptotu v $- \infty$ ; ))

OiBobik · 07. 03. 2011 00:05

Ještě poznámečka (třeba ti to pomůže přece jen):
Jestli ti dělají problémy specificky ty cyklometrické funkce, není jiné pomoci, než je zkrátka znát : )) jenom pár zákl. hintů:
1) funkce arcsin, arccos, arctg, arccotg jsou omezené
2) fce arcsin, arccos jsou definovány pouze na intervalu $[-1,1]$ - už se mi stalo, že jsem měl spočítat nějakou obludnost-limitu výrazu, jehož součástí byl arcsin nějakého argumentu, přičemž řešením bylo, že jelikož limita onoho argumentu byla $+\infty$ , daná funkce, z níž se měla počítat limita, nebyla vůbec kolem "limitního bodu" definována (právě proto, že arcsin je definován pouze pro hodnoty argumentu v rozmezí $[-1,1]$ ), tudíž triviálně limita neexistovala
3) šikovná limitka je $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}=1$ - dá se zdůvodnit z limity $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$ použitím věty o aritmetice limit a věty o limitě složené fce ; ))

meggie · 07. 03. 2011 10:23

Děkuji, jsem o trošíčku moudřejší, ale ne úplně moudrá :)

nechápu u tohoto, jak si z toho vytknu to 1/2 + pořád mi tam nějak chybí jedno x.. prostě nedokázala bych tento zlomek upravit, nedokážu ho pochopit ať na to koukám horem dolem :((

cyklometrické funkce mi v tomto opravdu nejdou, ráda bych se je naučila i nazpamět, ale není mi jasné jak. Nenašla jsem nikde, jakou hodnotu jaká funkce má. Proč například arctg x = pí/2? jsou na toto nějaké tabulky, kde je to všechno tohle dáno?
Omlouvám se za můj hloupý dotaz, ale prostě v učebnicích to není podáno polopatě a já se v tom strácím a čím víc se blíží termín zkoušky, tím víc jsem zoufalejší :(

OiBobik

↑ meggie:
Ahoj, nezlob se, teď moc nestíhám, tak aspoň stručně:
tu 1/2 získáš tak, že na tu limitu použiješ větu o aritmetice limit a dostaneš lim((x/2)/x) + lim(arctg x / x)
základní vlastnosti cyklometrických fcí jsou hezky třeba na wikipedii, aspoň já tam vždycky zabrousím, když zapomenu nějaké ty převodové vztahy apod. Když si vygooglíš grafy arctg, arccotg, uvidíš přímo z nich, že lim_{x->infty} arctg x = pi/2 , lim_{x->infty} arccotg x = 0 apod. ; )) Vše to plyne z toho, že jsou to inverzní funkce k tg, cotg (resp. jejich restrikce na ten interval, na kterém jsou spojité)

meggie · 07. 03. 2011 20:31

OK, díky moc! ↑ OiBobik:

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2011 23:12

asymptota

#2 06. 03. 2011 23:39 — Editoval OiBobik (06. 03. 2011 23:41)

Re: asymptota

#3 07. 03. 2011 00:05

Re: asymptota

#4 07. 03. 2011 10:23

Re: asymptota

#5 07. 03. 2011 16:35 — Editoval OiBobik (07. 03. 2011 16:35)

Re: asymptota

#6 07. 03. 2011 20:31

Re: asymptota

Zápatí