Matematické Fórum

smiesek · 11. 06. 2008 12:13

Prosím o vysvětlení následujícího řešení

Na úsečce o délce l se náhodně umístí dva body tak, že se úsečka rozdělí na tři části. Určete pravděpodobnost toho, že z tří vzniklých úseček lze sestavit trojúhelník

Řešení je zde napsáno jako:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=0%5Cle%20x%20%2B%20y%20%5Cle%20l%20%0A$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%5Cle%20l%20%2F%202%20%2C%20y%5Cle%20l%20%2F%202%20%2C%20x%20%2B%20y%20%5Cge%20l%20%2F%202$
A z toho vyšlo že p=0,25 (což netuším, kde vzali daný výsledek)

děkuji pěkně předem za vysvětlení

jelena · 11. 06. 2008 21:50 — Editoval jelena (06. 03. 2011 21:18)

↑ smiesek:

Zdravim :-)

mam tento priklad vypocitany jiz z drivejsi doby, tak ho tady umistim, jak jsem ho pochopila:-) je to priklad na geometrickou pravdepodobnost.

Mame usecku delky L, pokud ji zlomime na 3 dily, tak prvni dil bude x, druhy y, treti (L-(x+y)). Trojihelnik sestavime, kdyz bude splnena trojuhelnikova nerovnost (soucet delek 2 libovolnych stran bude vetsi, nez delka treti strany).

Jelikoz delky stran jsou kladna cisla, vezkere mozne vysledky se nachazeji v prvnim kvadrantu ciselne osy.

Dale soucet delek x a y nemuze byt vetsi nez delka puvodni ucecky L. Proto plati prvni rovnice, jak uvadis.

Teto podmince odpovidaji body lezici na nebo pod primkou x+y=L, nebo y=L-x (L si muzes predstavit jako nejake konkretni cislo a nakreslit si tuto primku do souradnic).

Mnozina vsech moznych vysledku je z pravoujleho trojuhelniku pod primkou (odvesny L, L), obsah takoveho trojuhelniku udava pocet vsech moznych vysledku S1 = L^2/2

Pocet vsech priznivych vysledku vychazi z trojuhelnikove nerovnosti, budeme davat strany po dvojicich:

x+y > L-(x+y)
x + (L-(x+y)) > y
y + (L-(x+y)) > x

Z techto nerovnic vyplyvaji nerovnice, co mas v druhem radku. Kdyz to opet nakreslime jako graf, tak dostavame oblast pod primkou y = L/2 - x. Obsah teto oblasti (trojuhelnik o odvesnych L/2, L/2) se rovna S2 = (L/2)^2/2 = (L)^2/8

S = (L/2)^2/2 = (L)^2/8 - to je take mnozina vsech priznivych vysledku.

pravdepodobnost p = priznivych / vsech = ((L)^2/8) / (L^2/2) = 1/4

OK?

EDIT> opraveno znaménko v troúhleníkových nerovnicích (má být "větší")

f@tom47 · 06. 03. 2011 19:22

Cawes, opravil byste pls někdo ty linky na kterých mají být ty rovnice? Se v tom popisu bez nich totiž krapet ztrácím. Dík :)

jelena · 06. 03. 2011 21:16

↑ f@tom47:

Zdravím, kde se ztrácíš?

Jelikoz delky stran jsou kladna cisla, vezkere mozne vysledky se nachazeji v prvnim kvadrantu ciselne osy.

Dale soucet delek x a y nemuze byt vetsi nez delka puvodni ucecky L. Proto plati prvni rovnice, jak uvadis.

$x\geq 0$ , $y\geq 0$ $x+y\leq L$

Zde ovšem jsem měla chybu v trojúhelnikových nerovnicích, všude má být "větší", ne "menší". Opravuji:

Pocet vsech priznivych vysledku vychazi z trojuhelnikove nerovnosti, budeme davat strany po dvojicich:

x+y > L-(x+y)
x + (L-(x+y)) > y
y + (L-(x+y)) > x

Z techto nerovnic vyplyvaji nerovnice, co mas v druhem radku.

$x+y>L-(x+y)$ , odsud $2(x+y)>L$
$x + (L-(x+y))>y$ , odsud $y<\frac{L}{2}$
$y + (L-(x+y))>x$ , odsud $x<\frac{L}{2}$

Je to v pořádku? Děkuji.

f@tom47 · 07. 03. 2011 16:45

Ty nerovnosti jsou v poho, ale jak jses dostala k těm všem možným výsledkům a k všem příznivým výsledkům? Nevim jak vypočíst tyhle dvě hodnoty. Dík

jelena · 07. 03. 2011 22:44

↑ f@tom47:

a-a-a-jaj-jaj: "Crede mа :-)"

Nejdřív jsem zakreslila oblast všech výsledků, která je omezena tak:
$x\geq 0$ ,
$y\geq 0$
$x+y\leq L$ (pro zakreslení je to oblast omezena $y\leq L-x$ ) - na ose x úsečka L, na ose y - úsečka L. Oblast všech výsledků je trojůhelník pravoúhly o odvesných délky L.

Jeho obsah je $S=\frac{L^2}{2}$

Potom jsem zakreslila trojúhelník splňující 3 troúhelníkové nerovnice ↑ "odsud":

$2(x+y)>L$ , pro zakreslení: $y>\frac{L}{2}-x$
$y<\frac{L}{2}$ ,
$x<\frac{L}{2}$

To je oblast příznivých výsledků - prvoúhlý trojúhelník o odvesných délky L/2.

Jeho obsah je: $S=\frac{L^2}{8}$

pravdepodobnost p = "priznivych" / "vsech"

$P(A)=\frac{\frac{L^2}{8}}{\frac{L^2}{2}} =\frac{1}{4}$

Už v pořádku?