Matematické Fórum

NetFenix · 24. 05. 2008 13:34

Opět zdravím, zkouška se blíží a já jsem narazil na sérii příkladů, které mi nejsou zcela jasné.... Vím jak počítat se substitucí, ale když ji mám už zadanou, tak to prostě z toho příkladu nedokážu vydolovat.

Nu tu jsou příklady:

1) $\int{x\sqrt[3]{1-x}}dx$ subst. $\sqrt[3]{1-x}$
2) $\int\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x}}$ subst. $\sqrt[3]{x}$
3) $\int e^{\sqrt{x} }dx$ subst. $\sqrt{x}$
4) $\int ln(x)dx$ subst. $ln(x)$

No a třeba ten první řeším takto:

$\int{x\sqrt[3]{1-x}}dx=$
$t=\sqrt[3]{1-x}$
$dt=\frac{1}{3\sqrt[3]{(1-x)^2}}$
$=\int{\sqrt[3]{1-x}*\frac{1}{3\sqrt[3]{(1-x)^2}}*3x\sqrt[3]{(1-x)^2}}dx$

Nevim jestli je to dobře, možná že ne, ale snad jo. Každopádně nevim jak z toho něco vypočíst...
Díky za rady...

xificurC · 24. 05. 2008 13:56

↑ NetFenix:
Derivacia tej tretej odmocniny nie je dobry napad. Moze Ti to vyjst aj tak, jasne, ale jednoduchsie bude, ked si cele umocnis na tretiu, takto: $1-x=t^3$ a potom $-x dx=3t^2 dt$ . Teda odmocninu zasubstituujes za t, jedno x spolu s dx na -3t^2 a zvysnych x^2 si mozes zase vyjadrit ako $(1-t^3)^2$ . Dostanes tak $\int -3(1-t^3)^2\cdot t^3 dt$ , roznasobis a zintegrujes.

xificurC

2) $x^{\tiny \frac{1}{3}}=t$ , $x=t^3$ , $dx = 3t^2 dt$ . Dostanes $\int \frac{3t^2}{1+t} dt = 3\cdot\int t - 1 + \frac{1}{t+1} dt$ , dalej snad uz jasne :)

xificurC · 24. 05. 2008 14:26

3) $x^{\tiny \frac{1}{2}} = t$ , $x=t^2$ , $dx = 2t dt$ a teda $2 \cdot \int e^t \cdot t dt$ , per partes, $u=t$ a $v'=e^t$ , vyjde $2\cdot e^t (t-1) +c$ , ak som sa nepomylil, a potom uz len subst. spat.

xificurC · 24. 05. 2008 14:29

4) $\ln x = t$ , $x=e^t$ , $dx = e^t dt$ a zase mas $\int t\cdot e^t dt$ . Tento priklad by sa ale dal riesit aj bez substitucie, staci jeden per partes, $u=\ln x$ a $v'=1$ .

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2008 13:34

integraly se substituci

#2 24. 05. 2008 13:56

Re: integraly se substituci

#3 24. 05. 2008 14:05 — Editoval xificurC (24. 05. 2008 14:22)

Re: integraly se substituci

#4 24. 05. 2008 14:26

Re: integraly se substituci

#5 24. 05. 2008 14:29

Re: integraly se substituci

Zápatí