Matematické Fórum

Slyšel, ale nevzpomněl jsem si na to, když jsem to četl. Každopádně ti moc děkuju, nevím, co bych jinak dělal. :) Jinak, chtěl bych se kluků trochu zastat, věděli, co to je, ale na jméno nepřišli. ;) Ještě jednou moc děkuju, nejtěžši je za mnou, teď na tvorbu referátu. :)

Chodím do kvarty na Gymnázium Jaroslava Seiferta v Praze. ;) Ale, jak píšu, nejsem ve fyzice zběhlý (stejně jako v chemii a matematice), jsem spíš na humanitní předměty. Děkuju za nabídku, možná ho sem hodím. Ale nebude to brzy, asi si dám s tvorbou na čas. :)

Ne, špatně pochopeno, mám na to několik dní. ;) Díky, snad se podaří. ;)

Zdravím.

Tento jevo (Bernouliho tlak) se dle mého používá k vysvětlení takovýchto podobných jevů až podezřele často. Odpoveď "je to tak, protože prostě Bernoulliho tlak", jak je dost populární, však často má své mezery.

Tak jednak s tím kamionem řekněme že na plachty působí síla odpovídající tlaku a jají ploše a využijeme znalosti



Uvnitř náklaďáku vítr neproudí. Venku ano. Proto podle této rovnice je venku zdánlivě podtlak. Nyní si představte, že náklaďák zrychlí natoli že bude platit



Ano, při našich podmínkách je to hodně. Asi 400 m/s (ta konst. je mimochodem pro nás atmosférický tlak). Ale pro stíhačky to zas až takový problém není. A co je na této rychlosti zvláštního? Podle našeho paradoxu by měl vzniknou podtlak větší než kdyby bylo venku dokonce vakuum. Opravdu bude na plášť působit záporný tlak?

Jde o to, že zákon nebude platit v momentě, kdy bude mezi vzuchem kamionu a vzduchem venku plachta, která odděluje vzduch na dvě prostředí. Dokonce i u těch lodí není Bernoulliho tlak zcela tou správnou odpovědí.

Ano ten Bernoulliho tlak opravdu vzniká, ale na ty lodě nepůsobí jenom to. Obrovský význam má viskozita vody. Dá se to představit takto. Když někde proudí voda a tečně k tomu proudu vedle proudí voda pomaleji, tak tyto dva proudy o sebe jemně třou. Když jsou blízko dvě lodě, tak za každým šroubem proudí voda, mezi nimi proudí pomaleji a dál od těch šroubů proudí také pomaleji. Přiblížím-li lodě k sobě, tak se zmenší oblast mezi šrouby, kde voda plyne pomaleji a dva proudy začnou zplývat v jeden. Je to energeticky výhodnější stav. Ty dva proudy mají snahu se spojit v jeden, aby nevznikali tak veliké nehomogenity v proudění. A tento jev je mnohem markntnější než nějaký Bernoulliho paradox. Dokoce když teď nad tím přemýšlím, tak Bernoulliho tlak nezpůsobí přibližování lodí opravdu vůbec! Ani o centimetr. Nechám na každém, ať si to pozorně rozmyslí.

Čili. Na lodi Bernoulliha tlak nemá vliv vůbec (tohle ale raději do referátu nepište, možná bychom po určitěé analýze dospěli k tomu, že tam přecejen vliv nějaký má, ale chci hlavně zdůraznit jiné jevy). Na náklaďák trochu ano, ale mnohem spíše je potřeba udělat důkladnější analýzu obtékání tělesa. Můžete si třeba na náklaďácích všimnout, že plachta je vypouklá, ale jen ve předu. Vzadu je to naopak. Což je zcela proti myšlence Bernoulliho tlaku. Je to už poměrně složitá aerodynamika.

Bernoulliho tlak opravdu existuje. Ale některé jevy jsou v mechanice tekutin opravdu dost složité a mají své vysvětlení hodně jinde než je tato značně zidealyzovaná představa proudění. Bohužel na SŠ se nedají poskládat složitější rovnice než pro stacionární nevizkózní a nevířivé proudění.

Trochu mi ten problém nedal :-) a rozhodl jsem se pro malé zamyšlení a mám tu vysvětlení různých situací.

1) Rozprašovačka

Vypadá to tak, že máme foukací balónek kterým foukneme vzduch do trubičky. K této trubičce je připojena nádoba s parfémem ze strany. Vypadaly takto takové starší balónkové parfémy, ale používá se to i u novějších, jak jsem zjistil

http://zena-in.cz/clanek/nechte-se-okou … ie/doplnky

Zde působí Bernoulliho tlak ve své plné kráse.

2) Plachta náklaďáku

Ano, i zde nadzvedávání palchty je způsobeno Bernoulliho tlakem. Ale má to podobnou váhu, jakobychom tvrdili, že na globální oteplování má vliv Slunce - je to jistě pravda, ale nějak vnitřně cítíme, že ta odpověď není zcela uspokojivá. O co jde. Dejme tomu, ža náklaďák stojí a venku nefouká vítr. Nyní se začne rozjíždět s jistým zrychlením. Vzduch uvnitř náklaďáku je tedy urychlován. Ten venku ne. (Nejdříve uvažujme, že nepůsobí nějaké viskozity nebo jiné odpory, či víry). Připouštíme že platí rovnice



To je Bernoulliho rovnice, kde je navíc potenciál U. V gravitačním poli má tvar U = hustota × gravitační konstanta × výška. Tady se bez potenciálu také neobejdeme. Nebude nás zajímat ani tak potenciál gravitační, jako potenciál vyvolaný působením síly, která urychlovala náklaďák. Po jisté dráze byl totiž náklaďák zrychlován a sním vzduch uvnitř. Což je analogické k tomu, jakobychom řekli, že se náklaďák přesunul do místa o jiné hodnotě potenciálu naší síly. Pro potenciál bude platit



Kde f je hustota síly, tedy síla působící na jednotku objemu. Rozepíšeme si to dále



Poslední rovnítko platí s přihlédnutím k tomu, že uvažujeme rovnoměrné zrychlení náklaďáku. Působení konstantního zrychlení je vlastně zahrnuto už v tom, že tvrdíme U = -fx. Pokud se vám zdá toto zjednodušení příliš veliké, tak vězte že pro obecné zrychlení to dopadna zcela stejně. Tedy že



To je ale zajímavý výsledek! Dosadíme-li do původní rovnice, tak nám zůstane, že p = konst. Takže Bernoulliho tlak nám tu tak přímočaře nepůsobí. Nelze jej používat jen tak absolutně pro oddělená prostředí, které se vyvíjeli pod jiným potenciálem. Co tedy vysvětluje náš jev? Odpoví nám viskozita. Stačí když připustíme následující. Vzduch obtékající náklaďák v jeho přední části proudí a tře o plachtu. V zadní části už urazil jistou dráhu podél náklaďáku a je zpomalen více než vzduch proudící vepředu. Není to jenom o viskozitě, hraje zde důležitou roli aerodynamika celkově. Je to poměrně dost zjednodušeně řečeno, ale pro naše účely postačí věřit tomu, že vepředu zkrátka vzduch proudí o něco rychleji. V rámci vzduchu proudícího kolem náklaďáku Bernoulli platí. Ve předu kde proudí rychleji je nižžší tlak v proudu vzduchu než v zadní. Ale dá se říct, že ve střední hodnotě je na tom tak nějak vyváženě. Proto vepředu vidíme plachtu vypouklou a vzadu naopak zatáhlou. Čili ano, dá se odpověďět Bernoulliho tlakem. Ale ta klíčová rychlost, které hraje roli v Bernoulliho rovnici není rychlost náklaďáku ale míra nehomogenit rychlosti proudu obtékajícího náklaďák.

Krátká poznámka ještě po krátké editaci. Možná lepší vysvětlení toho, co vidíme u náklaďáku (vepředu nafouklé, vzadu zatáhlé) je, že se plachta snaží zaujmout co nejlepší aerodynamický tvar - to jest tvar kapky. V tomto případě se o působení Bernoullihu tlaku nejedná vůbec. Ten má vliv tehdy, jak jsem mluvil o různých možných rychlostech vepředu a vzadu náklaďáku. Nejspíš se tyto jevy ovlivňují i navzájem.

3) Křídlo letadla.

Kolem horní části křídla letadal proudí vzduch rychleji než kolem spodní (je to důsledek Kuttova teorému - složitá aerodynamika). Tady pro zmenu platí Bernoulli v plné kráse. Vzduch se před křídlem rozděluje a za ním opět spojuje. Jedná se o jednotné prostředí. Jisté viskozity a turbulence zde jistě vznikají. Podstatné ale je, že tady Bernoulliho tlak opravdu působí tak, jak vychází z Bernoulliho rovnice od rychlostí, jakými vzduch obtéká křídlo.

4) Dvě lodě vedle sebe.

Představme si dva proudy lodních šroubů lodí, které plovou vedle sebe. Těsně za šroubem proudí voda nejrychleji. Na všechny strany od toho proudu proudí pomaleji. Opět zde vzniká Bernoulliho tlak. Podle něj je pomalejší vnější voda vtrháváná do proudu od šroubu. Tento efekt je ale stejně silný na všechny strany, takže v principu nepůsobí některým směrem dominantně. Dá se spekulovat pouze o vertikálním směru, neboť zde může hrát roli hladina vody. To ale nijak neřeší náš problém blízko plovoucích lodí. Uvažme nyní proud jednoho šroubu a vedle něj druhý od sousední lodi. Směrem k proudu sousední lodi nebude rychlost proudění klesat tak rychle, jako ve směru opačném. Bernoulliho tlak tedy dokonce způsobuje v tomto duchu vzdalování obou lodí! Víry a viskozita však zde hrají neskutečnou roli. Bernoulliho rovnice z přihlédnutím k tomu, že může být proudění vírové má podstatně složitější tvar. Dá se říci, že proud za šroubem je bržděn "stojící" vodou v okolí třením. Čím blíže se dva proudy od šroubů k sobě přiblíží, tím menšítoto tření v součtu bude na oba proudy dohromady působit. Lodě u sebe tedy budou mnohem snadněji hnát vodu za sebe požadovanou rychlostí než když jsou v těsné blízkosti, kde mezi oběma proudy vzniká mnoho třecích efektů a vírů, které celkový proud zpomalují. Pro lodě je tedy energeticky výhodnější plout co nejblíže u sebe. V tomto je původ síly, která táhne lodě k sobě.

Co říci závěrem.

Bernoulliho tlak ve své podstatě hraje roli všude. Tlakové rozdíly způsobené rozdílem rychlosti proudění má však smysl uvažovat pro proudění jednotné kapaliny. Né dvou, oddělenou nějakou plentou na nezávislá prostředí. Pozor na proudy lodních šroubů. Zde sice bernoulliho tlak v proudech působí, ale vůbec né na to, že by se lodě měly k sobě přibližovat. Jde o analýzu víření a tření proudů kolem hlavního nosného proudu za šroubem. Jak vidno, problém 2) - náklaďák a problém 4) - lodě spolu vůbec nesouvisejí. Souvisejí možná tím, že obojí je úloha z mechaniky tekutin. Řešení obou problému je však zcela diametrálně odlišné. Nehledě na to, že efekt u náklaďáku vlastně působí opačně než ten, co vzniká u lodí, které se přitahují vlivem něčoho docela jíného.

↑ mikl3:

K tomu vysvětlění toho derivování. Ano, derivujeme občas i teď v kvartě :-), i dkyž pravda už moc nepočítáme konkrétní příklady. Po správnu jsem ale v podstatě zase v primě, protože navazující studium se počítá opět jakoby od prváku. Nicméně, není mi úplně jasné, proč derivace vůbec zmiňovat. Nejsem si vědom, že bych tuto operaci někde prováděl. Postupoval jsem poměrně vágně. Je to ale v pořádku s přihlédnutím k předpokladům, že x je pro mne poloha náklaďáku a uvažuji, že se pohybuje v jednom směru s rovnoměrným urychlením. Ten vztah by středoškoloákovi stačilo popsat tím způsobem, že stačí když uvěří zákonu zachování mechanické energie pro rovnoměrně urychlený pohyb



Kde to nalevo je práce vykonaná konstantní silou. x je dráha posunutí a v je rychlost, na kterou jsme urychlili z klidu. Odvození lze udělat zhruba jak jsem jej napsal. A platí i pro nekonstantní síly dokonce, jen bychom měli trochu jinou levou stranu. V tom svém odvození jsem udělal některé kroky zrychleně, tekže je mohu podrobněji odůvodnit. Třetí rovnítko je zavedení, že zrychlení odpovídá změně rychlosti za jednotku času. Předpokládám, že na element vzduchu uvnitř náklaďáku působí zrychlení a tedy musí platit, že změna rychlosti v podílu s tím, kolik tiklo vteřin v průběhu této změny odpovídá zrychlení (takto se to zavádí už v prvním ročníku SŠ). V druhém rovnítku používám definici rychlosti. Čili změna polohy (dx) v podílu se změnou času (dt). Bez znalostí nějakých derivací tak každý je schopen přímočarou úpravou dospět k rovnosti dv/dt = v*dv/dx. Další rovnítko je pravda ode mne trochu trik, který jsem mohl zmínit, že uvažuji malé změny veličin. Malé v tom smyslu, že mě zajímá pouze asymptotické chování. Musí to tak být, protože rychlost narozdíl od zrachlení není konstantní a mění se. Je potřeba ji brát jaksi okamžitě (bodově) na malém intervalu. Uznávám, že tento krok se na SŠ vysvětluje složitě. Nicméne co platí rozhodně a přesně je



K tomuto nepotřebuji znát žádné derivace ani nemusím uvažovat, že je něco malé. Je to čistě geometriká věc, kterou si udělá každý když si namaluje a srovná obrázek s pár obdélníky. Čili jistě platí



teď jsem pravda nucen udělat trik s asymptotickým chováním veličin. To je pravda, né každý si uvědomuje co to je. Mohu totiž předpokládat malé změny dv. Vezmu-li poloviční dv, poloviční dx a poloviční dt, nic se v principu nezmění. Zrychleni dv/dt zůstává zachováno. Hodnota rychlosti dx/dt také. Mohu tedy bez problému uvažovat d-veličiny libovolně malé malé a je to v pořádku. Není to žádné fyzikovo zanedbávání. Je to princip ten, že při vzítí polovičních hodnot d-veličin je příspěvek (dv)^2 čtvrtinový a po nekonečném počtu kroků tohoto zmenšování d-veličina vyšších řádů vymizí. Nenapadá mě jednodušší odpověď na to, jak správně pracovat s d-veličinami než jakou jsem teď popsal. Ono to pak má své další důsledky že v této limitě lze třeba dA/dt považovat za derivaci A podle t apod. No a v posledním rovnítku mám podíl změny kvadrátu rychlosti podělený změnou polohy náklaďáku. Vím, že podíl d(v^2)/dx je úměrný zrychlení, které je pro naše účely konstantní. Když tedy v posledním korku vím jak se mi změní v^2 vůči posunutí o dx a přenásobím (tutu konstantní veličinu) celkovou draou, po kterou nákladní vůz zrychloval, dostanu v^2 za posledním rovnítkem.

Ke zcela stejnému výsledku se dopracujem i z nekonstantním zrychlením, jen by to bylo složitější. Museli bychom počítat s tím, že



čemuž jsem se chtěl záměrně vyhnout - ono celé to odvozování není tak pointa toho celého co jsem psal, jako fakt, že to mělo být povídání o tom jak a kde funguje Bernoulliho tlak.

Ono to v tom nákladním autě přece již z principu nemůže takto fungovat! Stačí se zamyslet zcela logicky. Nejen, že tu je ten paradox, že může vzniknout podtlak větší než ve vakuu, ale přeci vůči okolnímu vzduchu zase "jede" ten vzduch v autě a mělo by se nám naopak zdát, že by měl být podtlak na druhou stranu. To je evidentní spor. Pravda je totiž tak, že žádný Bernoulliho tlak nevzniká. Ten tlak je stejný venku jako uvnitř. Nelze aplikovat Bernoulliho rovnici na dvě nezávislá protředí už jen proto, že se mohou lišit v tom členu (konst.). takže hold bohužel ať chceme nebo ne, ta plachta je nadzvedávána u náklaďáku z důvodu, že se prostě snaží dostat do tvaru kapky. Nechci nabourávat tvrzení učitele. Jen možná neměl nákladní vůz uvádět jako příklad, protože je poměrně nešťastný. Chápu, že si to v tu chvíli možná neuvědomil. To se může stát. Je si myslím ale dobré na to upozornit, než aby zůstala chybička bez vyjasnění.

A ještě k těm lodím, které jsou vlastně to hlavní téma. Abychom zjistili vliv Bernoulliho tlaku, tak na chvíli "vypněme" viskozitu, minimálně protože Bernoulliho tlak je věc odvozená pro neviskózní tekutinu. Podívejme se tedy na vodu obtékající přímo loďky, neřešme šrouby. Mohou to být koneckonců plachetničky. Bernoulliho efekt, který by tady teoereticky mohl působit, je týž jako u křídel letadla. Čili že na stranu lodi blíže k druhé plachetnici musí proudit voda rychleji, než je tomu na opačné straně. Opravdu je toto tvrzení pravda? Nebude tomu dokoce spíš obráceně?

Překvapilo mě to, neboť o vlivu Bernoulliho tlaku na lodě jsem zatím slyšel ve zcela jiné zmínce

http://fyzsem.fjfi.cvut.cz/2008-2009/Zi … ernuli.pdf - strana 2, Fletterův motor

To je už poměrně odbočka. A je to taky docela perlička. Nebo druhou zmínkou o tom, jak funguje Bernoulli u lodí by mohlo být

http://www.mo-na-ko.net/lode-plachty.htm

Tady se už dostáváme v podstatě k podobným principům, které fungují u letadel.

O apliakcích Bernoulliho tlaku jsem našel poměrně hezký referát

http://www.google.cz/url?sa=t&sourc … mp;cad=rja

Od strany 7 dále po stranu 10.